Relación entre el % de la ecuación de pell negativos $x^2-dy^2=-1$y una cierta fracción continua

Question

Considere la posibilidad de la generalización de la fracción continua

$$F(x)=(x-1)-\cfrac{(x+1)}{x+\cfrac{(-1)(5)} {3x+\cfrac{(1)(7)}{5x+\cfrac{(3)(9)}{7x+\cfrac{(5)(11)}{9x+\ddots}}}}}$$

He descubierto experimentalmente que en ciertos casos converge para cuadrática irrationals $\frac{a+b\sqrt{d}}{c}$ donde $a,b,c$ $d\gt1$(plaza libre) son enteros. Aquí está una lista de algunas de sus formas cerradas

$$F(1)=\frac{11+5\sqrt{5}}{3}$$

$$F(2)=-\sqrt{2}$$

$$F(3)=\frac{120-26\sqrt{13}}{69}$$

$$F(4)=\frac{109-25\sqrt{5}}{33}$$

$$F(5)=\frac{349-29\sqrt{29}}{71}$$

$$F(6)=\frac{258-35\sqrt{10}}{39}$$

$$F(7)=\frac{3610-212\sqrt{53}}{429}$$

$$F(8)=\frac{485-51\sqrt{17}}{47}$$

$$F(9)=\frac{8841-425\sqrt{85}}{717}$$

$$F(10)=\frac{1604-143\sqrt{26}}{111}$$

$$F(11)=\frac{5988-1250\sqrt{5}}{359}$$

$$F(12)=\frac{6105-481\sqrt{37}}{321}$$

$$F(13)=\frac{32395-1211\sqrt{173}}{1509}$$

$$F(14)=\frac{1754-625\sqrt{2}}{73}$$

$$F(16)=\frac{16891-1105\sqrt{65}}{573}$$

$$F(17)=\frac{27935-879\sqrt{293}}{863}$$

$$F(18)=\frac{12840-779\sqrt{82}}{363}$$

$$F(20)=\frac{12471-707\sqrt{101}}{299}$$

$$F(22)=\frac{26330-1403\sqrt{122}}{543}$$

$$F(23)=\frac{82390-2132\sqrt{533}}{1583}$$

$$F(26)=\frac{16036-765\sqrt{170}}{253}$$

Para mi sorpresa, el discriminantes $d$ de la cuadrática irrationals son sólo números para los que la negativa de la ecuación de pell $x^2-dy^2=-1$ es solucionable,ver OEIS A031396.

Pregunta: ¿Puede el vínculo entre la continuación de la fracción y de la ecuación de pell ser probada?

Answer 1

Dado su continuo fracción $F(x)$, parece que tiene un general de forma cerrada. Definir,

$$d=x^2+4\tag1$$

a continuación,

$$F(x) = x-1-\frac{(x+1)\big(-x^3+12x+d\sqrt{d}\big)}{6(3x^2-4)}\tag2$$ por lo tanto,

$$G(x)=\frac{-x^3+12x+d\sqrt{d}}{6(3x^2-4)}=\cfrac{1}{x+\cfrac{(-1)(5)} {3x+\cfrac{(1)(7)}{5x+\cfrac{(3)(9)}{7x+\cfrac{(5)(11)}{9x+\ddots}}}}}\tag3$$

Conectar $x$, podrás recuperar todos los valores, incluyendo la falta de $F(15)$$F(19)$.

Si $d$ como se define por $(1)$ se supone para ser la plaza libre de $d'$, luego el negativo de la ecuación de Pell,

$$p^2-d'q^2 = -1\tag4$$

siempre tiene una solución.

1. Incluso $x$: Si $x=2v$,$d'=v^2+1$, e $p =v,\;q = 1$.
2. Extraño $x$: a Continuación,$d'=x^2+4$, e $p=\frac{x(x^2+3)}{2},\;q=\frac{x^2+1}{2}$ mientras $p,q$ son enteros desde $x$ es impar.