Descripción de la imagen y nullspace de un mapa linear

Question

Deje $V$ ser el espacio de todas las funciones continuas en $[a,b$]. Definir el mapa de $T$ según $$T[f](x)=\int_a^b f(t) \sin(x-t) \mathrm{d} t. $$ Quiero describir la imagen y el kernel (nullspace) de este mapa. Con el fin de hacer esto, he notado primero que $$T[f](x)=\left(-\int_a^b f(t) \sin(t) \mathrm{d} t \right) \cos(x)+\left( \int_a^b f(t) \cos(t) \right) \sin(x) .$$ Esto significa que la imagen $T[V]$ es un subespacio del espacio abarcado por el $\{ \cos(x),\sin(x)\}$. El núcleo consta de todas las funciones $f$ tal que $$\int_a^b f(t) \sin(t) \mathrm{d}t=\int_a^b f(t) \cos(t) \mathrm{d} t=0. $$ Me gustaría un poco de ayuda en mostrar que $T[V]=\operatorname{span} \{\cos(x),\sin(x)\}$, y tal vez obtener una mejor caracterización del núcleo. Observe que si $[a,b]=[-\pi,\pi]$ podemos utilizar la ortogonalidad de $\sin$$\cos$, pero estoy interesado en un general de intervalo. Gracias!

Answer 1

$T$ Es lineal, para demostrar que $T[V]=\operatorname{span} \{\cos(x),\sin(x)\}$ es suficiente para encontrar funciones $f$ y $g$ tal que $T[f]=\cos$, $T[g]=\sin$. Puede probar las funciones de la forma $f(x)=A\,x+B$. Esto le dará un sistema de dos ecuaciones en el % de dos desconocidos $A$y $B$ (excepto tal vez para un conjunto excepcional de valores $a$ y $b$.)