Límites problema difícil

Question

Dejemos que $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sea una función doblemente diferenciable.

Lo sabemos: $$\lim_{x\to-\infty}\ f(x) = 1$$

$$\lim_{x\to\infty}\ f(x) = 0$$

$$f(0) = \pi$$

Tenemos que demostrar que existen al menos dos puntos de la función en los que $f''(x) = 0$ .

¿Cómo podríamos hacerlo de forma rigurosa? Es bastante intuitivo, pero de forma rigurosa no me resulta tan sencillo...

Answer 1

Dejemos que $x_0$ sea un punto donde $f$ alcanza su valor máximo (que es $\geq \pi$ ). En $x_0$ tenemos que $f''(x_0)\leq 0$ .

Afirmamos que hay un punto $x_1>x_0$ tal que $f''(x_1)=0$ .

Supongamos que $x_1$ no existe entonces $f''(x)\not=0$ para $x>x_0$ . Por Teorema de Darboux el signo de $f''(x)$ en $(x_0,+\infty)$ debe ser siempre la misma. Tenemos dos casos:

i) $f''(x)>0$ para todos $x>x_0$ es decir $f(x)$ es estrictamente convexo en $(x_0,+\infty)$ . Por lo tanto, $f'$ es estrictamente creciente y $f'(x)>0$ para $x>x_0$ lo que implica que $f(x)>f(x_0)$ contra el hecho de que $x_0$ es un punto máximo.

ii) $f''(x)<0$ para todos $x>x_0$ es decir $f(x)$ es estrictamente cóncavo en $(x_0,+\infty)$ . Por lo tanto, $f'$ es estrictamente decreciente y $f'(x)<0$ para $x>x_0$ . Además, el gráfico de $f$ permanece bajo la línea tangente en algún $t>x_0$ para todos $x\in (x_0,+\infty)$ $$f(x)\leq f'(t)(x-t)+f(t).$$ Ahora, tomando el límite para $x\to +\infty$ a ambos lados, obtenemos $$0\leftarrow f(x)\leq f'(t)(x-t)+f(t)\to -\infty.$$ ¡Contradicción!

Por el mismo argumento obtenemos otro cero de $f''(x)$ para $x<x_0$ .

Answer 2

Por si acaso, hagamos una demostración que invoque sólo los teoremas del valor intermedio y del valor medio. En particular, evitemos cualquier uso explícito del Teorema del Valor Extremo.

Si $f$ siempre toma el mismo valor infinitamente, el Teorema del Valor Medio (o de Rolle) aplicado dos veces muestra que hay dos valores de $x$ para lo cual $f''(x)=0$ . De hecho, basta con que $f$ para tomar el mismo valor cuatro tiempos: Si $f(a)=f(b)=f(c)=f(d)$ con $a\lt b\lt c\lt d$ entonces hay puntos $a'\in(a,b)$ , $b'\in(b,c)$ y $c'\in(c,d)$ para lo cual $f'(a')=f'(b')=f'(c')=0$ y esto a su vez implica que hay puntos $a''\in(a',b')$ y $b''\in(b',c')$ para lo cual $f''(a'')=f''(b'')=0$ .

A partir de ahora, asumimos que $f$ nunca toma el mismo valor con una frecuencia infinita. Ahora argumentamos que hay un $c$ tal que $f(c)\ge f(0)$ y $f'(c)=0$ . (Si nos permitiéramos el Teorema del Valor Extremo, esta conclusión sería casi automática y, de hecho, podríamos habernos saltado también el párrafo anterior).

Si $f'(0)=0$ simplemente dejamos que $c=0$ . Si $f'(0)\gt0$ entonces existe $a\gt0$ para lo cual $f(x)\gt f(0)$ para todos $x\in(0,a)$ . Desde $f(0)\gt\lim_{x\to\infty}f(x)$ el Teorema del Valor Intermedio nos da una $b\in[a,\infty)$ para lo cual $f(b)=f(0)$ . Nuestra nueva hipótesis sobre $f$ nos dice que hay un El más pequeño tal $b$ y el Teorema del Valor Intermedio garantiza $f(x)\gt f(b)=f(0)$ para todos $x\in(0,b)$ . El teorema del valor medio (o de Rolle) dice ahora que hay un $c\in(0,b)$ para lo cual $f'(c)=0$ . Un argumento similar se aplica si $f'(0)\lt0$ con un más grande $b\le a\lt0$ y $c\in(b,0)$ .

Ahora dejemos que $B$ sea un límite tal que $f(x)\lt2$ para $|x|\ge B$ cuya existencia está garantizada por el comportamiento límite de $f$ . (En realidad, $2$ es sólo un número conveniente entre $\pi$ y $1$ cualquier número entre $f(c)$ y bastará con el mayor de los dos valores límite). Sea $g_+(x)=m_+(x-c)+f(c)$ y $g_-(x)=m_-(x-c)+f(c)$ sean funciones lineales con $g_+(B)=g_-(-B)=2$ y considerar las funciones $f_+(x)=f(x)-g_+(x)$ para $x\ge c$ y $f_-(x)=f(x)-g_-(x)$ para $x\le c$ . Tenga en cuenta que $f_+(c)=f_-(c)=0$ y observar que

$$m_+={g_+(B)-g_+(c)\over B-c}={2-f(c)\over B-c}\lt0\quad\text{and}\quad m_-={g_-(c)-g_-(-B)\over c+B}={f(c)-2\over c+B}\gt0$$

El signo de la pendiente $m_+$ implica $f_+(x)\gt0$ para $x\in(0,a)$ y también en el límite como $x\to\infty$ . Pero $f_+(B)=f(B)-g_+(B)\lt2-2=0$ . El teorema del valor intermedio nos dice que $f_+(c)=f_+(b)=f_+(b')=0$ para dos valores $b_1$ y $b_2$ con $c\lt b_1\lt B\lt b_2$ . Aplicación del teorema del valor medio a $f_+(c)=f_+(b_1)$ y $f_+(b_1)=f_+(b_2)$ da dos valores $b_1'$ y $b_2'$ con $c\lt b_1'\lt b_1\lt b_2'\lt b_2$ y $f_+'(b_1)=f_+'(b_2)=0$ . Y aplicado a $f_+'(b_1)=f_+'(b_2)=0$ , MVT tose un punto $d\in(b_1,b_2)$ para lo cual $f_+''(d)=0$ . Pero $g_+''(x)=0$ para todo $x$ por lo que tenemos un punto $d_+\gt c$ para lo cual $f''(d_+)=0$ .

El mismo argumento, sólo que con algunos de los signos invertidos, muestra que hay un punto $d_-\lt c$ para lo cual $f''(d_-)=f_-''(d_-)=0$ y ahora sí que hemos terminado. Hemos $f''(x)=0$ en dos puntos distintos, $x=d_+$ y $x=d_-$ .

Answer 3

ya que f(0) > 1 $\lim_\limits {x\to -\infty} f(x)$ y $\lim_\limits {x\to \infty} f(x)$ y $f(x)$ no es monótona.

Desde $f(x)$ es continua y diferenciable, allí toma un valor máximo en algún lugar. $f'(c) = 0$

Existe un $x$ en cada cola tal que f'(x) = 0$

Por el teorema del valor medio, existen puntos en $(-\infty, c)$ y $(c,\infty)$ donde $f''(x) = 0$

Answer 4

Dado que los límites de $f$ , como $x$ tiende a $\infty$ y $-\infty$ ambos existen, y $$ \lim_{x\to\infty}f(x),\,\,\lim_{x\to-\infty}f(x)<f(0)=\pi, $$ entonces $f$ alcanza un máximo total, digamos en $x_0$ con $f(x_0)\ge\pi$ y por lo tanto $f'(x_0)=0$ .

El hecho de que $\,\lim_{x\to-\infty}f(x)<f(0)$ implica la existencia de $x_1\in (-\infty,x_0)$ , donde $f'(x_1)>0$ y, del mismo modo, un $x_2\in (x_0,\infty)$ , donde $f'(x_2)<0$ . Pero la existencia de los límites $\lim_{x\to\infty}f(x)$ y $\lim_{x\to-\infty}f(x)$ también implica que

$$ \lim_{x\to-\infty} f(x+1)-f(x)=0\quad\text{and}\quad\lim_{x\to\infty} f(x+1)-f(x)=0, $$ y por lo tanto, $f(x+1)-f(x)$ puede llegar a ser arbitrariamente pequeño tanto para $x$ o $-x$ suficientemente grande. Debido al teorema del valor medio $f(x+1)-f(x)=f'(\xi)$ para algunos $\xi\in(x,x+1)$ y por lo tanto existe $\xi_1<x_1$ y $\xi_2>x_2$ , de tal manera que $$ \xi_1<x_1<x_0<x_2<\xi_2 $$ y $$ f'(\xi_1)<f'(x_1)>f'(x_0) \quad \text{and}\quad f'(x_0)>f'(x_2)<f'(\xi_2). $$ Por lo tanto, $f''$ desaparece en algún punto de cada uno de los intervalos $$ (\xi_1,x_0) \quad\text{and}\quad (x_0,\xi_2). $$