Prueba de convergencia casi segura

Question

CUD alguien por favor explique la prueba de $ P(X_n \to X)=1 $ iff $$ \lim_{n \to \infty}P(\sup_{m \ge n} |X_m -X|>\epsilon) \to 0 $ $. IM no es capaz de entender el significado de los varios conjuntos que toman durante el transcurso de la prueba.

Answer 1

Intuitivamente, el resultado significa que, para que converjan en casi todas partes es equivalente a "ligado a la probabilidad de la $\omega$'s para que $|X_n-X|$ es infinitamente a menudo más grande que un número positivo". Aquí está una más formal del argumento.

Suponga que $X_n\to X$ casi seguramente y corregir $\varepsilon\gt 0$. Definir $A_m:=\{|X_m-X|\gt \varepsilon\}$$B_n:=\bigcup_{m\geqslant n}A_m$. La secuencia de $(B_n)$ es no creciente y $\bigcap_{n\geqslant 1}B_n$ es el conjunto de $\omega$'s para que $\omega\notin A_m$ para infinidad de $m$'s. Desde este conjunto está contenido en $\{\omega,X_n(\omega)\mbox{ doesn't converge to }X(\omega)\}$, como conjunto de medida $0$, hemos terminado.

Por el contrario, supongamos que para cada $\varepsilon\gt 0$, $\mathbb P(\sup_{m\geqslant n}|X_m-X|\gt \varepsilon)\to 0$. Tome $\varepsilon=2^{-k}$ fijos $k$, e $n_k$ tal que $\mathbb P(\sup_{m\geqslant n_k}|X_m-X|\gt 2^{-k})\leqslant 2^{-k}$ (podemos suponer $(n_k)_k$ de aumento). Entonces por Borel-Cantelli del lexema, $\mathbb P(\limsup_k\{\sup_{m\geqslant n_k}|X_m-X|\gt 2^{-k}\})=0$. Esto significa que no existe $\Omega'\subset\Omega$ de probabilidad de $1$ para que determinado$\omega\in\Omega'$, $k(\omega)$ tal que $\sup_{m\geqslant n_k}|X_m-X|\leqslant 2^{-k}$$k\geqslant k(\omega)$.