Resolver

Question

¿La Siguiente integral admitir una forma cerrada?
$ \displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{\sin(x^{2})x^{2}\ln(x)}{e^{x^2}-1}dx $

Lo que intenté fue:

Definir otro integrante $ I(a) $ como:
$ I(a)=\displaystyle \int_{0}^{\infty}\dfrac{\sin(x^{2})x^{a}}{e^{x^{2}}-1}dx $

Escribir como:
$ I(a) = \text{Im} \left[\displaystyle \sum_{r=1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} x^{a}e^{-x^{2}(r-\iota)}dx \right] $

Claramente la necesaria integral es $ I'(2) $

El anterior se simplifica a:

$ \text{Im}\left[\dfrac{\Gamma(\frac{a+1}{2})}{2}\displaystyle\sum_{r=1}^{\infty}\dfrac{1}{(r-\iota)^{\frac{a+1}{2}}} \right] $

que además se simplifica a :

$ \large I(a) = \dfrac{\Gamma(\frac{a+1}{2})}{2}\displaystyle\sum_{r=1}^{\infty} \dfrac{\sin(\frac{a+1}{2}\tan^{-1}(\frac{1}{r}))}{(r^{2}+1)^{\frac{a+1}{4}}} $

Digamos $I'(a) $ I no se pudo evaluar incluso $I(a)$ en forma general El único que podía resolver se $ a=1 $
ASÍ que

$ I(1) = \displaystyle \int_{0}^{\infty}\dfrac{\sin(x^{2})x}{e^{x^{2}}-1}dx = \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{e^{2\pi}(\pi -1)+(\pi +1)}{e^{2\pi}-1}\right] $

Cualquier otro enfoque o consejos/sugerencias son más que bienvenidos!

Answer 1

$$\begin{eqnarray*}\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(x^2)x^2\log x}{e^{x^2}-1}\,dx &=& \frac{1}{4}\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(z)\sqrt{z}\log(z)}{e^z-1}\,dz\\ &=&\frac{1}{4}\left.\frac{d}{d\alpha}\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(z)z^{\alpha+1/2}}{e^z-1}\,dz\,\right|_{\alpha=0^+}\\&=&\frac{1}{4}\left.\frac{d}{d\alpha}\sum_{n\geq 1}\int_{0}^{+\infty}\sin(z)z^{\alpha+1/2}e^{-nz}\,dz\,\right|_{\alpha=0^+}\\&=&\frac{1}{4}\text{Im}\left.\frac{d}{d\alpha}\sum_{n\geq 1}\int_{0}^{+\infty}z^{\alpha+1/2}e^{(i-n)z}\,dz\,\right|_{\alpha=0^+}\\&=&\frac{1}{4}\text{Im}\left.\frac{d}{d\alpha}\sum_{n\geq 1}\frac{\Gamma\left(\alpha+3/2\right)}{(n-i)^{\alpha+3/2}}\right|_{\alpha=0^+}\\&=&\frac{1}{4}\text{Im}\left[\sum_{n\geq 1}\frac{\Gamma'(3/2)}{(n-i)^{3/2}}+\sum_{n\geq 1}\frac{\Gamma(3/2)\log(n-i)}{(n-i)^{3/2}}\right]\end{eqnarray*}$ $ depende de la parte imaginaria de una función del zeta de Hurwitz y su derivado en $s=\frac{3}{2}$.
Aquí tenemos $\Gamma(3/2)=\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ y $\Gamma'(3/2)=\Gamma(3/2)\psi(3/2) = \tfrac{\sqrt{\pi}}{2}(2-\log 4-\gamma)$.