valor propio real

Question

Llamaremos matriz $A$ $$\begin{bmatrix} -5& 1& 0& 0\\ a &2& 1 &0\\ 0& 1 &1 &1\\ 0 &0&1& 0 \end{bmatrix} $$ donde $a$ es una constante entre 1 y 3.

Muestran que el valor propio dominante es real.

¡¡Muchas gracias!!

Answer 1

$A$ es una verdadera matriz del tridiagonal. Una propiedad de las matrices del tridiagonal real es esta: si las señales de las entradas de las diagonales superiores e inferiores son simétricos (es decir, el $(i,\,i+1)$-th y $(i+1,\,i)$-th entradas tienen el mismo signo para cada $i$), entonces la matriz es similar a una matriz simétrica real y por lo tanto, todos sus autovalores son reales. Ahora este es tu caso aquí.