Unidades DENTRO de una función Delta de Dirac

Question

Sé que las unidades de una función Delta de Dirac son inversas a su argumento, por ejemplo las unidades de $\delta(x)$ si $x$ se mide en metros es $\frac{1}{meters}$ .

Pero, mi pregunta es cuáles son las unidades dentro de ¿el Delta de Dirac?

Por ejemplo, si tiene $\delta (x - 1)$ es la expresión exacta $x$ ¿dentro del delta de dirac sin unidades? Si no es así, significa que el $1$ tendría que tener unidades de metros. Eso me parece impar, por lo que creo que dentro las unidades son sin unidad y en conjunto le das al delta de dirac unidades inversas al argumento pero no estoy seguro. Si alguien me puede aclarar esto se lo agradecería mucho, ¡gracias!

Answer 1

Aclaremos primero una cosa: nunca se pueden sumar (o restar) dos expresiones con unidades diferentes. Por ejemplo, en $\delta(x - 1)$ el 1 no tiene unidad, lo que significa que $x$ tiene que ser también sin unidades.

Luego está la cuestión separada de las unidades de la expresión dentro del delta de Dirac. La expresión dentro de la delta es su argumento, y como sabes, el argumento no tiene que ser sin unidades. Así que ahí tienes la respuesta. Puedes escribir $\delta(x - 1\text{ m})$ por ejemplo, y como $x - 1\text{ m}$ tiene unidades de longitud, la propia función delta tendrá unidades de longitud inversa.

La razón por la que los argumentos de muchas funciones tienen que ser sin unidades es que esas funciones se pueden expresar como una serie de potencias,

$$f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots$$

donde el $a_i$ son sólo números. 1 Por ejemplo,

$$\begin{align} \exp(x) &= 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \cdots \\ \sin(x) &= x - \frac{x^3}{6} + \cdots \end{align}$$

Si $x$ tuviera unidades de, por ejemplo, longitud, entonces estarías sumando un número a una longitud a un área (longitud al cuadrado) a un volumen, etc., y como he dicho, eso no puede ocurrir.

Pero la función delta no es una de estas funciones que pueda expresarse como una serie de potencias. De hecho, no es realmente una función en absoluto. Es una distribución, definida implícitamente por la integral

$$\int_a^b f(x) \delta(x - x_0)\mathrm{d}x = \begin{cases}f(x_0), & a \le x_0 \le b \\ 0,& \text{otherwise}\end{cases}$$

Para que este integral salga con las mismas unidades que $f(x_0)$ el resto de la expresión se integra, es decir, la combinación $\delta(x - x_0)\mathrm{d}x$ - tiene que ser sin unidades. Y como $\mathrm{d}x$ tiene las mismas unidades que $x$ , $\delta(x - x_0)$ tiene que tener la unidad que anula esa unidad.

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1 Se podría argumentar que se puede definir una función $f$ como una serie de potencias donde los coeficientes $a_n$ tienen unidades del tipo apropiado, y en ese caso el argumento $x$ sería tienen unidades. Pero siempre se puede generalizar dicha función a una función diferente de una variable sin unidades: basta con escribir $a_n = f_0 b_n/x_0^n$ donde $b_n$ no tiene unidades y $x_0$ tiene la misma dimensión que $x$ y luego expresar la función como $$f(x) = \sum a_n x^n = f_0\sum b_n (x/x_0)^n = f_0 g(x/x_0)$$ donde $g(y) = \sum b_n y^n$ . La función $g$ expresa la misma relación funcional que $f$ pero en términos de una variable sin unidades, por lo que es más útil en general.

Answer 2

Sugerencia: Utilice el identidad

$$ \delta(ax)~=~\frac{1}{|a|}\delta(x) $$

(donde $a\neq 0$ es una constante real no nula) para transportar unidades dentro y fuera del Función delta de Dirac $\delta(x)$ .

Answer 3

Tienes razón, la propia función delta tiene la dimensión inversa de su argumento. La cuestión es ahora: ¿de dónde viene el argumento? ¿Qué determina sus unidades? En principio, se pueden inventar expresiones arbitrarias con diferentes unidades para cada término. Pero, ¿se puede interpretar esto físicamente? No. En muchas aplicaciones de la física, la función delta sirve para restringir alguna expresión a un punto del espacio(tiempo), es decir

$$\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r'}),$$

donde $\mathbf{r}$ es un vector de posición general y $\mathbf{r'}$ representa la expresión a la que se quiere restringir. Esto puede utilizarse, por ejemplo, para modelar la densidad de una carga puntual en electrodinámica. Las dos cantidades del argumento representan una posición, es decir, tienen la dimensión de una longitud y, por tanto, pueden medirse en metros. No tendría sentido asignar una posición a, por ejemplo, una velocidad.

Por lo tanto, si se escribe una expresión como $\delta(x-1)$ hay que asegurarse de que x es adimensional (siempre que el $1$ también se considera adimensional).

Editar:

También puedes pensarlo así:

La función delta de dirac sólo da un valor distinto de cero si su argumento desaparece. En su caso, esto viene dado por la condición $x-1=0$ o $x=1$ . Esto es una ecuación. Una ecuación sólo puede ser válida si los términos a ambos lados del signo de igualdad son igual . Esto también significa que las unidades tienen que coincidir. No se pueden equiparar, por ejemplo, los segundos con los metros, o los metros con una cantidad sin unidad (sin dimensión). Por lo tanto, todos los términos del argumento de la función delta deben tener la misma dimensión/unidad.