Actualmente estoy buscando un grupo de $G$, que no es perfecta, pero aún isomorfo a su conmutador grupo $[G,G]$.
¿Alguien sabe un ejemplo (que a pesar de el hecho, una cosa que debe de existir y estoy seguro que no es la primera persona que lo busca, no lo pude encontrar)? Sería bueno tener un ejemplo de un grupo, cuya derivada de la serie no termina.
Es evidente, que el $G$ debe ser infinito. Mi conjetura sería que un infinito semi-producto de, por ejemplo, $\mathbb Z$ debe hacer el truco, pero antes de que me ponga más tiempo en la construcción de una probablemente ya existente ejemplo (mi primer par de intentos fallidos), quería preguntar por la primera.
Así que la idea detrás de mi construcciones tan lejos de donde tomando serie finita en $\mathbb Z$ con un semi-directa del producto, que el colector de un grupo son la serie finita de partida con 0 es decir: $$G_0:=\mathbb Z,\quad G_{i+1}=G_i \rtimes \mathbb Z, \quad G=\cup G_i$$ con $[G,G] \subsetneq G$ pero $[G,G] \cong G$ o más directamente a $[G,G]$ es la imagen de la derecha-cambio de $G$.
