Encontrar vectores en no en la Unión de subespacios

Question

Posibles Duplicados:
Un espacio vectorial sobre $R$ no es un contable de la unión de subespacios adecuada

Este es solo un paso en una mayor tarea problema que estoy teniendo dificultades.

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Considere la posibilidad de un conjunto finito de vectores $A$ $\mathbb{R}^n$ de la longitud de la $k$

$A$ $m =\binom{k}{n-1}$ subconjuntos de tamaño $n-1$, designado por $A_1,A_2,...,A_m$

Deje $S_j$ ser el subespacio generado por $A_j$ (por lo $dim(S_j) \le n-1)$

Mostrar que no debe ser un elemento en $\mathbb{R}^n$ que no está en ninguna $S_j$ todos los $j\in\{1...n\}$

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Esto hace sentido intuitivo para mí para $\mathbb{R}^2$ si se considera como el plano cartesiano. Dado cualquier conjunto finito de líneas en $\mathbb{R}^2$,debe haber un punto en $\mathbb{R}^2$ que no está en ninguna de esas líneas.

No puedo pensar en una manera de demostrar esto, incluso en $\mathbb{R}^2$.

Answer 1

Sugerencia: Se puede probar por inducción matemática, la declaración más fuerte que $\mathbb{R}^n$ es estrictamente mayor que el de cualquier finito de la unión de su propia subespacios. El caso de $n=1$ es trivial. Supongamos $n>1$ $S_1,\ldots,S_m$ son propias de los subespacios de $\mathbb{R}^n$. WLOG, suponga que cada una de las $S_i$ tiene dimensión $(n-1)$ y la unidad normal de $v_i$.

1. Sostienen que hay algunos vector unitario $u$ tal que $u\not=\pm v_i$ todos los $i$.
2. Denotar por $P$ el hyperplane ortogonal a $u$. Determinar el $\dim(P)$$\dim(P\cap S_i)$.
3. Demostrar que no existe $v\in P$ tal que $v\notin P\cap S_i$ todos los $i$.
4. Por lo tanto $v\notin S_i$ todos los $i$.

En general, como se señaló por Gerry Myerson, $\mathbb{R}^n$ no es un contable de la unión de una adecuada subespacios.