Demostrando que la norma de un irreducible entero gaussiano es igual a $p$ o $p^2$

Question

Pregunta: Supongo que $\pi \in \mathbb{Z}[i]$ es irreducible. Demostrar que existe un número primo $p$ tal que $N(\pi) = p$ o $N(\pi) = p^2$.

Mi intento:

Realmente no sé dónde empezar. Hay una que dice que debo tomar un ordinario número $p$ que es un factor de $N(\pi)$.

Answer 1

Se ha aprendido acerca de la diferencia entre singular de la factorización de dominios (Ufd) y no Ufd todavía? $\mathbb Z[i]$ es un disco flash usb, lo que hace que ciertas cosas sean más fáciles.

Supongamos $N(\pi) = pq$ donde $p$ $q$ son "normales" de los números primos, y $p \neq q$. Ya estamos trabajando en un disco flash usb, esto significa que nos podemos encontrar en los enteros de Gauss $a$ $b$ tal que $N(a) = p$, $N(b) = q$ y $ab = \pi$. Pero, puesto que ninguno de $a$ ni $b$ son unidades, esto se contradice $\pi$ ser irreductible. Por lo tanto, $N(\pi) = pq$ es imposible si $\pi$ es irreductible. Esto también se encarga de descartar la posibilidad de que $q$ es "ordinario" número compuesto.

Rápida poco de ejercicio: de $1 + i$$1 + 3i$, uno es irreductible, y uno es reducible. Determinar cual es cual.

Pero no descarta la posibilidad de que $N(\pi) = p^2$ pero $\pi$ es la plaza de algunas de Gauss entero $z$ tal que $N(z) = p$. Sin embargo, por favor tome esto en la fe, por el momento, pero para un "ordinario" positivo prime $p \equiv 3 \pmod 4$ no hay solución en los enteros a $x^2 + y^2 = p$ y, por tanto, $N(z) = p$ es imposible. Los números primos son irreducibles en este dominio.

Si "ordinario" positivo prime $p \equiv 3 \pmod 4$, $p, -p, pi, -pi$ son todos irreductible, y sus normas son de todos los $p^2$.

Uno de los más rápidos poco de ejercicio: de 17 y $-19i$, uno es irreductible, y uno es reducible. Determinar cual es cual.

Answer 2

Recuerde que la norma es multiplicativo. Si $\pi = \alpha \beta$,$N(\pi) = N(\alpha) N(\beta)$. Si $\pi$ es de hecho irreductible, y prime, que significa, o $N(\alpha) = 1$ o $N(\beta) = 1$. Pero si $N(\alpha) \neq 1$ e $N(\beta) \neq 1$ , $\pi$ no es irreducible como originalmente afirmó.

Luego de considerar las tres posibilidades de $\pi$: o es puramente real, puramente imaginaria, o complejo. Por ejemplo: $-3, 3i, 2 + i$. Las normas de la primera y la segunda ejemplos son $9$, el cuadrado de un primo. La norma de la tercer ejemplo es $5$, propio de una prima.

Answer 3

(corregido un error tipográfico: $\gamma\mid p \mid (x+yi)(x-yi),$,$\gamma\mid p \mid (x+yi)(x+yi),$) Supongamos $\pi=x+yi$ (donde $x$ $y$ son enteros) es irreducible, entonces $x-yi$ también es irreducible. $N(\pi)=x^2+y^2>1$. Deje $p$ ser un primer divisor entero de $N(\pi)$, y deje $\gamma$ ser una Gaussiana entero y una irreductible divisor de $p$. Entonces a partir de la $$\gamma\mid p \mid N(\pi)=(x+yi)(x-yi),$$ hemos $$\gamma \mid (x+yi),$$ or $$\gamma\mid (x-yi),$$ y ya que tanto $x+yi$ $x-yi$ son irreductibles, tenemos $N(\gamma)=N(x+yi)$ o $N(\gamma)=N(x-yi)$, pero $N(x+yi)=x^2+y^2=N(x-yi)$, lo $$1<N(x+yi)=N(x-yi)=N(\gamma) \mid N(p)=p^2,$$ por lo tanto, $N(x+yi)=p$ o $p^2$.

(Tenga en cuenta que evitamos el uso de la clasificación de los primos de Gauss y sólo usar la definición de irreductible de los enteros de Gauss.)

Answer 4

Desde $\mathbf Z[i]$ es un UFD, un elemento $\pi$ es irreducible si y sólo si el director ideal $\langle \pi \rangle$ es un alojamiento ideal, y se puede aplicar directamente la teoría de la ramificación de los números primos en el anillo de enteros de un campo de número. Pero supongo que usted pida una prueba directa, utilizando sólo la factoriality de $\mathbf Z[i]$. Recordemos que la unicidad de la descomposición en elementos irreductibles es sólo hasta las unidades (que es invertible elementos), que en el caso de $\mathbf Z[i]$$\pm 1$$\pm i$.

Deje $p$ ser una de las primeras de $\mathbf Z$ dividiendo $N(\pi) = \pi \cdot \pi'$ donde $\pi'$ es el conjugado de a $\pi$ también es irreducible. Debido a la propiedad de UFD, esto implica que (hasta unidades), la descomposición de la $p$ $\mathbf Z[i]$ $\pi$ o $\pi'$ o $\pi \cdot \pi'$. Tomando normas, a continuación, da $N(\pi) = N(\pi') = p^2$ o $p$ . Tenga en cuenta que el segundo caso se produce si y sólo si $p \equiv 1 \bmod 4$.