¿Cómo se resuelve un PDE con la función Delta de Dirac?

Question

Tengo un PDE en forma de $$ \frac{\partial u} {\partial t} + \frac{\partial u} {\partial x} + u = \delta(x-1), $$ con condición inicial $u(x,0)=100$. Estoy tratando de resolver numéricamente, pero no tengo ni idea en que metodo debo usar. La mayoría de los ejemplos que me refiero a no tiene ninguna función delta en el PDE.

¿Alguien me puede orientar sobre qué debo hacer?

Muchas gracias.

Answer 1

Usted puede repetir el problema mediante la integración de la ecuación en $x \in (1-\epsilon,1+\epsilon)$ y teniendo en $\epsilon \to 0$.

$$ \int_{1-\epsilon}^{1+\epsilon} \left(\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} + u\right) dx = \int_{1-\epsilon}^{1+\epsilon} \delta(1-x)dx = 1. $$

Ahora tenemos que hacer la suposición de que nosotros podemos cambiar el temporal derivado con el integral, y, a continuación, $$ \frac{\partial}{\partial t} \left(\int_{1-\epsilon}^{1+\epsilon} u dx \right) + \int_{1-\epsilon}^{1+\epsilon}\frac{\partial u}{\partial x} dx + \int_{1-\epsilon}^{1+\epsilon} u dx = 1 $$ Tomando el límite cuando $\epsilon \to 0$, y suponiendo que se pueden cambiar con el tiempo, la diferenciación (y $u$ es integrable creo, no estoy tan fresco en mi análisis de los cursos) tenemos que $$ \lim_{\epsilon \to 0} \big[u(1+\epsilon, t) - u(1-\epsilon,t)\big] = 1 $$ o, en otras palabras, que el salto de la función de $u$ en el punto de $x = 1$ es de magnitud $1$.

Por último, para resolver $0 < x < 1$, $1 < x < 1000$ y la cola de las soluciones mediante el uso de la condición de salto.

Solución analítica

Para $0 < x < 1$ usted tiene que $$ \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} + u = 0 $$ con las condiciones iniciales $u(x,0) = 100$.

Utilizando el método de las características que tiene el sistema equivalente \begin{align} \frac{d x}{d \eta} &= 1 &x(\xi)\big|_{\eta = 0} &= \xi\\ \frac{d t}{d \eta} &= 1 &t(\xi)\big|_{\eta = 0} &= 0\\ \frac{d u}{d \eta} &= -u &u(\xi)\big|_{\eta = 0} &= 100 \end{align} que puede ser fácilmente resuelto, que conduce a la \begin{align} x(\xi, \eta) &= \eta + \xi \\ t(\xi,\eta) &= \eta \\ u(\xi,\eta) &= 100e^{-\eta} \end{align} y, a continuación, podemos invertir para $(\xi,\eta)$ , que conduce a la solución de $u(x,t) = 100e^{-t}$. En $x=1$, $u(1,t) = 100e^{-t}$, el salto de estado de estados que $$ u(1^+,t) = 1 + 100e^{-t} $$ y luego,

Para $1 < x < 1000$ el problema es $$ \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} + u = 0 $$ con $u(x,0) = 100$, e $u(1,t) = 1 + 100e^{-t}$. Claramente, hay una inconsistencia en $t=0$, $x=1$, derivado de $\delta(x-1)$, y la solución no está bien definida allí. Dado que el PDE es una ecuación de transporte, el problema se propagan a lo largo de la característica $t = x - 1$, como veremos a continuación.

Caso $t < x - 1$.

En este caso, el método de las características conduce a que el sistema \begin{align} \frac{d x}{d \eta} &= 1 &x(\xi)\big|_{\eta = 0} &= \xi\\ \frac{d t}{d \eta} &= 1 &t(\xi)\big|_{\eta = 0} &= \eta\\ \frac{d u}{d \eta} &= -u &u(\xi)\big|_{\eta = 0} &= 100 \end{align} y, como antes, la solución es $u(x,t) = 100 e^{-t}$.

Caso $x - 1 < t$.

En este caso, el método de las características conduce a que el sistema \begin{align} \frac{d x}{d \xi} &= 1 &x(\eta)\big|_{\xi = 0} &= 1\\ \frac{d t}{d \xi} &= 1 &t(\eta)\big|_{\xi = 0} &= \eta\\ \frac{d u}{d \xi} &= -u &u(\eta)\big|_{\xi = 0} &= 1 + 100e^{-\eta} \end{align} por lo tanto \begin{align} x(\xi, \eta) &= \xi + 1 \\ t(\xi,\eta) &= \xi + \eta \\ u(\xi,\eta) &= \left(1 + 100e^{-\eta}\right)e^{-\xi} \end{align} entonces $\xi = x - 1$, $\eta = t - x +1$ y $$ u(x,t) = e^{1-x} + 100e^{-t} $$

Ayuda a dibujar una $(x,t)$ diagrama para ver exactamente lo que pasa. En la parte superior del plano, no es la solución a $100 e^{-t}$ que proviene de la condición inicial. A partir de $x = 1$, hay un nuevo componente de la solución, es decir,$e^{1-x}$. Esto surge a partir de la discontinuidad de la función en $x = 1$, y se propaga a lo largo de las características de la $t = x - c$ donde $c \le 1$. Ya que la solución tiene que se propagan con la velocidad de $1$, la discontinuidad no ser visto hasta el momento $t = x-1$, donde el delta genera la onda llegará a el observador. La solución puede ser escrito como $$ u(x,t) = 100e^{-t} + e^{1-x}\big(H(t - x + 1) - H(x - 1)\big) $$

Answer 2

Tenga en cuenta que este PDE sólo pertenece al PDE de la forma http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/fpde/fpde1302.pdf para que la solución exacta se puede encontrar fácilmente, así que no necesariamente tienes que resolver numéricamente.

La solución general es $u(x,t)=e^{-x}C(x-t)+e^{-x}\int\delta(x-1)e^x~dx=e^{-x}C(x-t)+e^{1-x}H(x-1)$

$u(x,0)=100$ :

$e^{-x}C(x)+e^{1-x}H(x-1)=100$

$C(x)=100e^x-eH(x-1)$

$\therefore u(x,t)=e^{-x}(100e^{x-t}-eH(x-t-1))+e^{1-x}H(x-1)=100e^{-t}-e^{1-x}H(x-t-1)+e^{1-x}H(x-1)$