Mostrando que un subgrupo normal contiene un subgrupo

Question

Sea G un grupo finito, $H \le G$ y $N\lhd G$. Supongamos que $|H|$ y $|G :N|$ son primos entre sí. ¿Es cierto que $H \le N$?

Dado que $N$ es un subgrupo normal, sé que $NH \le G \implies |NH|$ divide a $|G|$. Además, $|HN|=\frac{|H||N|}{H\cap N}$, así que usando la fórmula $|G :N|=\frac{|G|}{|N|}$ y manipulando obtengo,

$\frac{|G|}{|HN|}=\frac{|G||H\cap N|}{|H||N|}

pero no sé cómo continuar (asumiendo que estoy en el camino correcto para empezar). Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Pista: Considera la imagen $\pi(H)$ de $H$ en el grupo cociente $G/N.$ Si puedes mostrar que $\pi(H)$ es trivial, entonces $H \subset N.$ Piensa en en qué números divide $|\pi(H)|.$

Answer 2

Considere la composición $\phi:H\to G/N$ de la inclusión $H\to G$ con la proyección $G\to G/N$. Los órdenes de $H$ y de $G/N$ son primos entre sí: ¿cuáles son las posibles imágenes de $\phi$?

Answer 3

Sea $\varphi:G\to G/N$ el mapa cociente. Supongamos que $h \in H$; ¿qué sabes sobre los posibles órdenes de $\varphi(h)$? Tienes información tanto del índice de $N$ como del orden de $H.

Answer 4

Las respuestas ya dadas son perfectamente correctas, por supuesto, y siempre es buena idea pensar en términos de homomorfismos, cocientes, núcleos, etc. En este caso particular, sin embargo, creo que estabas a un paso de resolverlo, así que no hay necesidad de cambiar tu estrategia.

Como observaste, el LHS es un número entero. Ahora escribe el RHS como $\frac{|G:N||H \cap N|}{|H|}$.

Dado que $\gcd(|H|,|G:N|)=1$, $|H|$ divide a $|H \cap N|$. Pero $H \cap N$ es un subgrupo de $H$, entonces $|H \cap N|$ divide a $|H|$. Por lo tanto, $|H|=|H \cap N|$ lo que implica $H=H \cap N$. Esto es claramente equivalente a lo que querías demostrar.