Bola de la unidad p-norma

Question

Estoy teniendo problemas con la comprensión de la definición de p-norma de la unidad de pelota. Lo que sé es que para el infinito (norma máxima), entonces se forma un cuadrado. Necesito un "clic" para entender esto, alguien puede ser tan amable de explicar esto a mí en palabras sencillas?

Si la norma es la distancia del vector, entonces ¿de dónde este vector se encuentra? De donde a donde es la longitud del vector? Es que desde el punto (0,0)?

Answer 1

Si el centro de la unidad-la pelota está en el origen de la $(0,0)$, entonces cada punto de la unidad-pelota tendrá el mismo p-norma (es decir, 1). El unitball por lo tanto describe todos los puntos que tienen la "distancia" 1 desde el origen, donde la "distancia" se mide por el p-norma.

La forma más fácil de la unidad de bolas para entender intuitivamente son los de la 2-norma y el 1-norma.

Ejemplo 1: La 2-norma es simplemente la longitud del vector ($\sqrt{x_1^2 + x_2^2}$ para el 2-dimensional caso). Por lo tanto, tiene sentido que todos los puntos de la misma longitud, forman un círculo alrededor del origen.

Ejemplo 2: El 1-norma ($|x_1| + |x_2|$) es otro de los casos que pueden ser interpretados fácilmente. Imagínense los casos especiales

$$ x_{horizontal} = (1,0), x_{vertical}=(0,1) $$

1-la norma es

$$ |x_{horizontal}| = | x_{vertical}| = 1 $$

Cada punto en la línea entre estos dos puntos también tienen un 1-norma de 1 desde la linealmente disminución del $x_1$-componente al mismo tiempo que aumenta el $x_2$-componente.

Ejemplo 3: El infinito norma se define como $\|x\|_\infty=\max\{ |x_1|, \dots, |x_n| \}$. Por lo tanto, $\|x\|_\infty=1$ todos los $(x_1,x_2$) donde $|x_1|=1$ $|x_2| \leq 1$ o $|x_1|\leq1$ $|x_2| = 1$ - esta es la forma en que la plaza se encuentra!