¿Ceros de secuencias función uniformemente convergente también convergen?

Question

Supongamos lo siguiente:

• $f_n{(x)}$ es una secuencia de funciones continuas, cada uno con un único cero $x_n^*$
• $f_n\to f$ uniformemente
• $f$ tiene un único cero en $x$

¿Entonces sigue que $x_n^*\to x$?

Si esta afirmación es falsa, ¿cuáles son los supuestos adicionales mínimos necesarios para hacer realidad (por ejemplo, necesitamos suponer que todos lo %#% de #% analíticas)?

Answer 1

Considerar la funciones $f_n(x) = \dfrac{(x^2 + 1/n)(x/n - 1)}{1 + x^4}$ $\mathbb R$.

EDIT: Estos y su límite $f(x) = \dfrac{-x^2}{1+x^4}$, son real-analíticos.

Por otra parte, si es analítica en un dominio $f_n$ del plano complejo que contiene $D$ $x$ (el único cero de $f$ en $D$) y converge uniformemente a $f$ en subconjuntos compactos de $D$, entonces el argumento principio $f_n$ debe tener un cero en $D$ suficientemente gran $n$.

Answer 2

Robert Israel respuesta es correcta. Me gustaría añadir que es fácil ver que $$ \| f(x_n^*) \| = \| f(x_n^*) - f_n(x_n^*) \| \le \sup_y \| f(y) - f_n(y) \| < \epsilon $$ por lo suficientemente grande como $n$. Por lo tanto cada punto límite de $x_n^*$ es un cero de $f$. Por ejemplo, si estamos en un dominio compacto, existen convergente subsecuencias de $x_n^*$ con límite de punto, decir $x^*$, y, por tanto, $f(x^*)=0$ por cada punto límite. Si $f$ tiene un único cero en este compacto de dominio, a continuación, $x^*=x$ y su propuesta de la siguiente manera.