Compacidad y función uniformemente continua

Question

¿Si cada función continua $f:X\to\mathbb{R}$ (donde $X$ es un subconjunto de un espacio métrico compacto), es uniformemente continua, entonces soy justo asumir que $X$ es compacto, así?

Creo que debe pero no estoy seguro si me equivoco. ¿Como si $X$ es un subconjunto de un espacio métrico compacto entonces no $X$ sí mismo del dominio sea compacto así $f$ es uniformemente continuo?

Answer 1

Que $K$ ser un espacio métrico compacto tal que $X \subseteq K$. Supongamos que $X$ no es compacto, entonces no está cerrada la $X$ $K$, por lo tanto hay un $k \in \bar X \setminus X$. Considere la función $$ f \colon X \to \mathbb R, \quad x \mapsto \frac 1{d(x,k)} $ $ ($d$ que denota la métrica de $K$). Entonces $f$ es continua, pero no uniformemente continua, como en el caso de la carta, $f$ tendría una extensión continua de $\bar X$, que es imposible.

Answer 2

Usted podría estar interesado en el siguiente trabajo:

¿Cada función continua es uniformemente continua? por Ray F. Snipes matemáticas Magazine, Vol. 57, núm. 3 (mayo de 1984), págs. 169-173 publicado por: matemática Asociación de América URL estable: http://www.jstor.org/stable/2689666 .