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Question

$$\begin{align*} \int \arcsin\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)\,dt&=t\arcsin\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)+\int\frac{2t}{1+t^2}\,dt\\ &=t\arcsin\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) + \ln(1+t^2)+C \end{align*} $$ así $$ \int\nolimits_0^{\sqrt3} \arcsin\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)=\pi/\sqrt3+2\ln2.$ $

Sin embargo el resultado parece ser $ \pi/\sqrt3 $ solamente. ¿Por qué hay este $ 2\ln2 $?

Detalle de:

$$\begin{align*} t \arcsin\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)&- \int t \left(\frac{2(1-t^2)}{(1+t^2)^2}\right)\frac{1}{\sqrt{1-\frac{4t^2}{(1+t^2)^2}}}\,dt\\ &= t\arcsin\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)- \int \frac{2(1-t^2)t}{(1+t^2)\sqrt{(t^2-1)^2}}\,dt\\ &=t\arcsin\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)+\int \frac{2t}{1+t^2}\,dt \end{align*} $$

Answer 1

Creo que cometiste un error de simplificación. Tenemos $$ \begin{align*} \frac{d}{dt}\arcsin\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) &= \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{4t^2}{(1+t^2)^2}}}\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)'\\ &= \frac{(1+t^2)}{\sqrt{(1+t^2)^2-4t^2}}\left(\frac{2(1+t^2)-4t^2}{(1+t^2)^2}\right)\\ &= \frac{(1+t^2)}{\sqrt{(1-t^2)^2}}\left(\frac{2(1-t^2)}{(1+t^2)^2}\right)\\ &= \frac{2(1-t^2)}{(1+t^2)\sqrt{(t^2-1)^2}} =\frac{2(1-t^2)}{(1+t^2)|t^2-1|}. \end{align*} $$ usted cancela para obtener $$-\frac{2}{1+t^2}.$ $ sin embargo, esa cancelación sólo es válida si $t^2-1\geq 0$, es decir, si $|t|\geq 1$. Sin embargo su integral abarca una región que incluye lugares donde te $t^2\lt 1$, para que la cancelación no es válida en el intervalo entero. Intente realizar dividiendo la integral como una integral sobre $[0,1]$ y $[1,\sqrt{3}]$, teniendo cuidado con los signos.

Answer 2

La sustitución de Weierstrass en una forma ligeramente diferente de la que yo estoy acostumbrado a ver que va a hacer.

Tenemos $$ \begin{align} t & = \tan\frac x2 \\ \\ \frac{2\;dt}{1+t^2} & = dx \\ \\ \frac{2t}{1+t^2} & = \sin x \\ \\ \frac{1-t^2}{1+t^2} & = \cos x \end{align} $$ Esa es la costumbre de Weierstrass de sustitución. Ahora, diferenciar la primera línea de arriba para obtener $$ dt = \frac12\s^2\frac x2\;dx $$ así que esto es $$ \frac{dx}{2\cos^2\frac x2} $$ y por el coseno de la mitad de ángulo de la fórmula, esto es $$ \frac{dx}{1+\cos x}. $$ Por la tercera línea de arriba, tenemos $$ \arcsin\left(\frac{2}{1+t^2}\right) = \arcsin \sin x = x $$ (si $0\le x\le \pi/2$). Por lo tanto, el deseado integral se convierte en $$ \int \frac{x\;dx}{1+\cos x} = \int x\;dt. $$ La integración por partes, obtenemos $$ xt - \int t\;dx = x\tan\frac x2 - \int \tan \frac x2 \; dx = x\tan\frac x2 - 2\log\cos\frac x2 + C. $$ Como $t$ $0$ a $\sqrt{3}$, $x$ va de $0$$\pi/3$, y ahí lo tienen.

Corrección: Como $t$$0$$\sqrt{3}$, la función de $t\mapsto2t/(1+t^2)$ $0$ $1$ y luego comienza a bajar de nuevo. Llega a su máximo en $t=1$. Por lo $\sin x$ $0$ $1$ y luego comienza a bajar de nuevo. Por lo tanto $x$$0$$2\pi/3$.

Esto crea problemas cuando uno dice $\arcsin\sin x = x$, ya que se aplica al $x$ entre $0$$\pi/2$. Para$x$$\pi/2$$2\pi/3$, tendríamos $\arcsin\sin x = \pi-x$, y tenemos que examinar ese intervalo por separado.

Answer 3

parte de la solución integral es $\ln(1+t^2)$. Cuando usted introduzca límites integradas te $\ln(1+(\sqrt{3})^2)-\ln(1+(0)^2)$$=\ln(4)-ln(1)$$=2\ln(2)$