Utilizando coordenadas parabólico

Question

Tengo las 3 dimensiones paraboloidal coordenadas

$$s_{\pm}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\pm z$$ $$\phi=ArcTan(y/x)$$ con la inversa de la transformación $$x=\sqrt{s_+ \cdot s_-}\cdot cos(\phi)$$ $$y=\sqrt{s_+ \cdot s_-}\cdot sin(\phi)$$ $$z=\frac{s_+ - s_-}{2}$$

Preguntas:

1. Propiedades en la integración: Supongamos que tengo $ I= \int_{0}^{\infty} ds_+ \int_{0}^{\infty} ds_- f(s_+,s_-) \cdot \delta(s_+ - t)$, puedo ingenuamente aplicar la Dirac-Delta y obtenga $I=\int_{0}^{\infty} ds_- f(t,s_-)$ ?
2. Propiedades en la diferenciación: Supongamos que tengo $D=\frac{\partial}{\partial s_-} e^{2\cdot s_-} \cdot s_+$, puedo simplemente ignorar el $s_+$ Plazo y obtener $D=2\cdot e^{2\cdot s_-} \cdot s_+$ ?

Cada sugerencia será muy apreciada!

Answer 1

Lo que escribiste es

$$\begin{eqnarray} s_+ &=& \sqrt{x^2+y^2+z^2} + z,\\ s_- &=& \sqrt{x^2+y^2+z^2} - z.\\ \end{eqnarray} $$

Como ambos son positivos, podemos tomar la raíz cuadrada, así

$$\begin{eqnarray} t_+ &=& \sqrt{\sqrt{x^2+y^2+z^2} + z},\\ t_- &=& \sqrt{\sqrt{x^2+y^2+z^2} - z}.\\ \end{eqnarray} $$

Tenga en cuenta que

$$\begin{eqnarray} t_+ t_- &=& \sqrt{x^2+y^2},\\ \frac{t_+^2 - t_-^2}{2} &=& z, \end{eqnarray} $$

por lo que

$$\begin{eqnarray} x &=& \cos(\phi) t_+ t_-,\\ y &=& \sin(\phi) t_+ t_-,\\ z &=& \frac{t_+^2 - t_-^2}{2}. \end{eqnarray} $$

Estas coordenadas se denominan coordenadas de Paraboloidal $(\phi,u,v)$.

Lo que han definido es $(\phi,s_+,s_-) = (\phi,u^2,v^2)$.

Entonces podemos llamar la parte cuadrada parabólico o las coordenadas de NicoDean ...