Mostrar $(\Omega, \mathscr{F}, P)$ es un espacio de probabilidad.

Question

Espectáculo $(\Omega, \mathscr{F}, P)$ donde $\mathscr{F}=\{\text{all subsets of }\mathbb{R}\text{ such that either }A^c\text{ or }A\text{ is a countable set}\}$, e $P(A)=0$ si $A$ es contable, $P(A)=1$ si $A^c$ es contable, es un espacio de probabilidad.

He demostrado que $\mathscr{F}$ $\sigma$- álgebra y que $P(\Omega )=1$, pero todavía tengo que mostrar contables de aditividad, es decir,

$$\displaystyle P\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n\right)=\sum_{n\in\mathbb{N}} P(A_n)$$ for any disjoint sequence $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ of sets in $\mathscr{F}$.

Pf:

Si $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ son todos contables y disjuntos, entonces a partir de la $\mathscr{F}$ $\sigma$- álgebra, la unión de $\bigcup A_n$ son contables así y por lo $\bigcup A_n\in\mathscr{F}$.

Pero si, por alguna $j\in\mathbb{N}$, $A_j$ es incontable, a continuación, $A_j^c$ es contable y $P(A_j)=1$.

No tiene que ser sólo uno de esos $j$ tal que $A_j$ es incontable, de lo contrario $\sum P(A_j)>1$. ¿Cómo puedo relacionar esta el hecho de que $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ son distintos? Una sugerencia sería muy apreciada!

Answer 1

Si $A,B$ son separado y co contable, $A\subset B^c$ es necesariamente contable. Pero entonces $\Omega = A\cup A^c$ contable, en contradicción. Por lo tanto podría haber más un solo Co contable $A_j$ (el resto sigue como dices).

Answer 2

Si $P$ es una medida de probabilidad, a continuación, ya que el $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$, pero desde $A,B\in\mathscr{F}$ y $A\cap B=\varnothing$ y $P(A\cap B)=0$, entonces usted puede utilizar que $P(A\cup B)=P(A)+P(B)\dots\mathbf {(a)}$
Ahora, si $A_i\in\mathscr{F}$, entonces el $P(A_1\cup\dots\cup A_j\cup\dots)=P(A_1)+\dots+P(A_j)+\dots =\sum_{i=1}^{j-1}P(A_i)+P(A_j)+\sum_{i=j+1}^\infty P(A_i)$ y para mostrar por qué es cierto que la igualdad, tienes que usar $\mathbf {(a)}$, $A_j$ no contable.
(Espero no desordenado, tuve algunos problemas con el código)