Estoy lejos de ser un experto en el campo de la lógica matemática, pero he estado leyendo sobre el trabajo académico invertido en los fundamentos de las matemáticas, tanto en un momento histórico y que se objetive sentido; y aprendí que todo parece reducir a un adecuado axiomático - formulación de la teoría de conjuntos.
También parece que todo el conjunto de teorías (incluso si los que vienen en ontológicamente diferentes sabores, tales como las que persiguen el "enfoque iterativo" como ZFC, frente a la "enfoque estratificado" -inspirada por Russell y Whitehead del tipo de teoría se formuló por primera vez en sus Principia- como Quine del NFU o de Mendelson ST) se construyen como las colecciones de los axiomas se expresa en un lenguaje común, que invariablemente implica un subyacente de la lī ogica de primer orden aumentada con el conjunto de socio de la relación binaria símbolo. De esto se deduce que FOL hace hasta la (necesaria) "plantilla formal" en matemáticas, al menos desde una perspectiva fundacional.
La justificación de este hecho, es la razón detrás de esta pregunta. Todas las cosas que he leído sobre el metalogical virtudes de FOL y de las propiedades de sus "extensiones" se podría resumir como las siguientes declaraciones:
- FOL (Gödel, 1929), compacto y de sonido, y todo su particular formalizaciones como deductivo sistemas son equivalentes (Lindström, 1969). Eso significa que, dado un (coherente) de la colección de axiomas en la parte superior de un FOL deductivo sistema, el conjunto de todos los teoremas que son sintácticamente comprobable, son semánticamente satisfecho por un modelo de los axiomas. La especificación de los axiomas absolutamente implica todas sus consecuencias; y el hecho de que cada primer orden deductivo sistema es equivalente, sugiere que FOL es un contexto independiente (es decir, objetivo), de la estructura formal.
- Por otro lado, la Löwenheim–Skolem teorema implica que FOL no categóricamente caracterizar infinito de estructuras, y así todos los de primer orden de la teoría satisfecho por un modelo de un particular cardinalidad infinita, también está satisfecho por varios modelos adicionales de cada una de las otras infinito de cardinalidad. Esto no categoricity característica se explica a ser causada por la falta de poder expresivo de FOL.
- El categoricity resultados que FOL basado en teorías que no se puede lograr, se puede obtener en un Segundo Orden de la Lógica (SOL) marco. Los ejemplos abundan en el ordinario de la matemática, tales como la Menos límite Superior axioma, que permite la definición de número real hasta el isomorfismo. Sin embargo, el SOL no verifica un análogo de la integridad de los resultados de FOL, y así no hay general coincidencia entre sintáctica provability y semántica satisfiability (en otras palabras, no admitir una completa prueba de cálculo). Eso significa que, incluso si una escogida colección de axiomas es capaz categóricamente caracterizar un infinito matemático de la estructura, hay un conjunto infinito de wff está satisfecho por el único modelo de los axiomas que no puede ser derivada a través de la deducción.
- El sintáctico-semántica cisma en el SOL también implica que no hay tal cosa como un equivalente a la formulación de posibles deductivo sistemas, como es el caso de FOL y declaró por Lindström del teorema. Uno de los resultados de este hecho es que el dominio sobre el que la segunda orden de las variables de rango debe ser especificado, de lo contrario están mal definidos. Si el dominio está permitido el conjunto de los subconjuntos del dominio de primer orden de variables, el correspondiente estándar de la semántica de involucrar a las propiedades formales se indicó anteriormente (suficiente poder expresivo para establecer categoricity resultados, y la incompletitud de potencial, no equivalente deductivo de los sistemas). Por otro lado, a través de una adecuada definición de segundo orden de los dominios de segundo orden de las variables para la gama más, el resultado de la lógica de exposiciones no estándar de la semántica (o la semántica de Henkin) que puede ser demostrado ser equivalente a la de muchos de los ordenados-FOL; y como único ordenado de FOL, se verifica el mismo metalogical propiedades se dijo al principio (y, por supuesto, su falta de poder expresivo).
- La cuantificación de la extensión de más variables de las sucesivas órdenes de un superior puede ser formalizada, o incluso eliminar la distinción entre individuo (de primer orden) de las variables y de los predicados; en cada caso, se obtiene para cada N - N-ésimo Orden lógico (NOL), y la Lógica de Orden Superior (HOL), respectivamente. Sin embargo, se puede demostrar (Hintikka, 1955) que cualquier frase en la lógica de FOL con el estándar de la semántica equivalente (de manera efectiva) a una frase en pleno SOL, el uso de muchas de clasificación.
- Todo esto apunta al hecho de que la distinción fundamental, en términos lógicos, se encuentra entre FOL (único ordenado o muchos-clasificado) y el SOL (con semántica estándar). O lo que parece ser el caso, los fundamentos lógicos de cada teoría matemática debe ser no categórica o la falta de una completa prueba de cálculo, con nada entre el trade-off.
Por qué, entonces, es FOL invariablemente elegida como la lógica subyacente en la parte superior de que el conjunto de axiomas teóricos se establecen, en cualquier potencialmente fundacional de la formalización de la matemática?
Como he dicho, yo no soy un experto en este tema, y me acaba de pasar a estar interesado en estos temas. Lo que escribí aquí está un resumen de lo que supongo que he entendido de lo que he leído (aunque yo personalmente estoy inclinado en contra de la gente que habla de lo que no se comprende). En esta luz, yo estaría muy contento si cualquier respuesta a esta pregunta implica una rectificación de cualquier afirmación, que pasó a ser malo.
P. S. : esta es una exacta repost de la pregunta que me pidió originalmente en la Filosofía .SÍ, porque supuse que esto sea demasiado filosófica de la materia, y por lo que no sería bien recibido por las matemáticas de la comunidad. La falta de respuesta de allí (porque yo equivocado, y esto en realidad hace una pregunta que sólo puede ser contestada con una formación técnica sobre el tema, o porque es de poco interés filosófico) es la razón por la que decidí preguntar aquí. Siéntase libre de señalar si el criterio era realmente correcto, y por supuesto, voy a tomar ninguna ofensa si algún moderador tiene acciones debido a la probable falta de adecuación de la pregunta en este sitio.
