Hay muchas pruebas conocidas de $\mathbb{C}$ (campo de números complejos) es algebraicamente cerrada (por ejemplo prueba de Cauchy)
Sin embargo:
¿Cómo hace la introducción de la solución a la ecuación de $x^2 + 1 = 0$ (imaginario número $i$) hace esto posible o es intimatelly relacionados con ella?
Gracias
La adición de una raíz cuadrada de cualquier otro número negativo funcionaría igual de bien. Para $a>0$ si $x$ satisface $x^2+a=0$, $y=x/\sqrt a$ satisface $y^2+1=0$. Esta es sólo extremadamente diferentes.
También puede hacer cosas como añadir una solución a $x^4+1=0$, y luego se iba a la plaza a una solución a $x^2+1=0$, etc. (Edit: Para aclarar, como Servaes , dijo, cualquier polinomio que no tiene una raíz en $\mathbb R$ funcionaría. )Yo no sé si usted podría considerar la posibilidad de que este tipo de cosas "trivialmente diferentes" o si responde a tu pregunta. La cosa es que la adición de una raíz a $x^4+1=0$ ( $j$ ) básicamente le da la misma números complejos (la clausura algebraica es esencialmente único). En este ejemplo en particular, cada número de la forma $a+bj$ puede esencialmente (bueno, usted puede elegir algunos de los signos) ser escrito como $\left(a+\frac{b}{\sqrt 2}\right)+\frac{b}{\sqrt 2}i$ y cada número de la forma $a+bi$ esencialmente puede ser escrito como $(a-b)+\left(\sqrt 2 b\right)i$.
No sé si es esto lo que estás buscando o no, pero la de Artin-Schreier Teorema básicamente dice que si usted sólo necesita añadir un número finito de cosas para hacer de su campo algebraicamente cerrado, entonces la adición de un cero de $x^2+1$ va a hacer el trabajo. Una buena escritura es aquí.
Otras respuestas han respondido a la carne de esta pregunta. Sólo quería señalar que si usted comienza hablando de las ecuaciones de la matriz, en lugar de simplemente polinomios, usted termina con más divertido cosas que se extienden a los números complejos.
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