Demuestra que si un subgrupo normal $H$ de $G$ tiene índice $n$, entonces $g^n \in H$ para todo $g \in G$

Question

Necesito ayuda en relación con este ejercicio

"Demostrar que si un subgrupo normal $H$ de $G$ tiene índice $n$, entonces $g^n \in H$ para todo $g \in G".

No se me permite usar grupos cociente en la demostración, porque el ejercicio está en el capítulo anterior.

Intenté por inducción en $n$. Los casos $n=1, n=2$ son obvios, pero incluso el caso $n=3$ me está dando problemas, así que abandono el estudio del caso general del paso inductivo.

Mi otro enfoque fue estudiar los cocientes izquierdos o derechos de $G$. Pero solo demostré que si $g \in aH$ entonces $g² \notin aH$ si $a \notin H, y no puedo encontrar una manera de demostrar que $g^n \in H$. (mi idea inicial fue demostrar que cada potencia de $g$ está en un cociente distinto, pero luego me di cuenta de que de esta manera no manejo varios casos, por ejemplo $g$ tiene un periodo estrictamente menor que $n y en conclusión no prueba el ejercicio). Quizás me esté perdiendo algo sobre los índices, y es por eso que pedí aquí ayuda.

(No puedo usar grupos cocientes porque son introducidos después de este ejercicio, olvidé añadir esta información al principio). ¡Gracias de antemano! :)

Answer 1

Pista: Si $H$ es un subgrupo normal de índice $n$, entonces $G/H$ es un grupo de orden $n.

Answer 2

Pista:

• Si $H$ es un subgrupo normal de $G$, entonces $G/H$ está definido.

• $G/H$, como señalaste, tiene orden $n$, así que $\forall gH\in G/H,~~ (gH)^n=H$.

• $(gH)^n=gHgHgH\cdots gH$ ($n-\text{copia}$)

Entonces ...

Answer 3

Aquí hay una solución que funciona en el caso en que $G$ es finito. (Por supuesto, esta suposición no es necesaria para que se cumpla el teorema.)

Se mencionó en los comentarios que el problema en cuestión es el ejercicio 2.39 de Introducción a la Teoría de Grupos de J. Rotman. Estoy utilizando la cuarta edición, por lo que es posible que tengas números diferentes para ejercicios y lemas.

Anteriormente en el ejercicio 2.28, Rotman te pide que pruebes el siguiente hecho sobre dobles cosets:

Sea $S, H \leq G$, donde $G$ es un grupo finito, y supongamos que $G$ es la unión disjunta $$G = \bigcup_{i=1}^n S g_i H.$$ Demuestra que $[G : H] = \sum_{i = 1}^n [S : S \cap g_i H g_i^{-1}]$.

Para probar esto, aplica el teorema 2.20 a $|Sg_iH| = |Sg_i H g_i^{-1}|$. Como corolario inmediato, obtenemos

Sea $S, H \leq G$ y supongamos que $H$ es un subgrupo normal. Entonces $[S : S \cap H]$ divide a $[G : H]$.

Para demostrar el ejercicio 2.39, considera el corolario con $S = \langle g \rangle$. Según el corolario, basta con probar que $g^{[S : S \cap H]} \in H$. Según el ejercicio 2.11, $g^{[S : S \cap H]}$ tiene orden $|S \cap H|$. Dado que $S$ contiene exactamente un subgrupo de orden $|S \cap H|$ (esto es el lema 2.15), se deduce que $g^{[S : S \cap H]}$ genera $S \cap H$, y en particular $g^{[S : S \cap H]} \in H$.