Supongamos que $ \sum_{n=1}^{\infty} b_n x^n= \frac{x^3}{(x^4-1)^2}$ . Lo que podría ser una expresión de $b_n$ ?

Question

Un problema de práctica dice

Supongamos que $$\sum_{n=1}^{\infty} b_n x^n = \frac{x^3}{(x^4-1)^2}.$$

Lo que podría ser una expresión de $b_n$ ?

Algunas de las posibles respuestas son $ 2^{3n}nx^{3n-1}, nx^{3n-1}, nx^{4n-1}$

Hay algunas otras respuestas. Simplemente no estaba seguro de cómo iniciar este problema?

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\int \frac{x^3}{(x^4-1)^2}\,dx=\frac{1}{4(1-x^4)}+C$$

Ampliar $\frac{1}{1-z}$ en una serie geométrica y establecer $z=x^4$ ?

Answer 2

Otra variante se basa en el _expansión de series binomiales . \begin{align*} (1+x)^\alpha=\sum\{n=0}^\infty\binom{\alpha}{n}x^n\qquad\qquad |x|<1 \end{align*}

W \begin{align*} \frac{x^3}{(x^4-1)^2}&=x^3\sum_{n=0}^\infty\binom{-2}{n}(-x^4)^n\tag{1}\\ &=x^3\sum_{n=0}^\infty\binom{n+1}{1}x^{4n}\\ &=\sum_{n=0}^\infty (n+1)x^{4n+3}\tag{2}\\ &=x^3 + 2 x^7 + 3 x^{11} + 4 x^{15} + 5 x^{19} + 6 x^{23}+\cdots \end{align*}

En (1) utilizamos la identidad binomial $\binom{-p}{q}=\binom{p+q-1}{q}(-1)^q$ .

De acuerdo con (2) concluimos que \begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} b_n x^n=\sum_{n=0}^\infty (n+1)x^{4n+3} \end{align*} implica para $n\geq 0$ \begin{align*} b_{4n+k}= \begin{cases} n+1&\qquad k=3\\ 0&\qquad k\neq 3 \end{cases} \end{align*}