La definición figura en Reed & Simon, Métodos de física matemática volumen 1, página 276; véase también el ejemplo 2 en la página 277.
Esencialmente, el dominio de forma es el "mayor dominio" en el que un operador autoadjunto puede "tener sentido" de forma débil. Formalmente, dado un operador autoconjunto no limitado $A$ en algún espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ se puede considerar la forma cuadrática $\psi \mapsto (\psi,A\psi)$ . El mayor subespacio denso de $\mathcal{H}$ que denotamos por $Q(A)$ en la que esta forma cuadrática tiene sentido se denomina dominio de formulario de $A$ .
Por ejemplo $\mathcal{H}$ sea $L^2(\mathbb{R})$ . Sabemos que el Laplaciano no tiene sentido en todas las $L^2$ es dominio $D(A)$ es, a grandes rasgos, el espacio de Sobolev $H^2(\mathbb{R})$ de funciones en $L^2$ cuya segunda derivada también está en $L^2$ . Pero si se considera la forma cuadrática $(\psi,\triangle\psi) = (\nabla\psi,\nabla\psi)$ (una integración formal por partes; esto puede hacerse más preciso utilizando la representación espectral de $A$ ), vemos que la forma dominio $Q(A)$ es más bien $H^1$ sólo necesitamos que la primera derivada esté en $L^2$ .
Tenga en cuenta que $Q(A)$ contiene necesariamente $D(A)$ . Pero a menudo es posible ampliar la forma cuadrática a un dominio mayor.
(Para saber por qué y cómo se usa esto, deberías ver esa sección de Reed y Simon, así como el vol. 2, capítulo X, la sección sobre formas cuadráticas).
