Me pregunto exactamente lo que se entiende por la frase "la solución de los radicales". Sabemos que, en general, quintic (5to grado) polinomios no tiene solución en los radicales. Estoy queriendo un "formal" descripción de lo que significa esa frase en el símbolo de la manipulación/informática-algoritmos de sentido. He visto un montón de imprecisa y ambigua redacción en inglés que plasme lo que significa, y todas esas definiciones parecen faltar. Tomemos, por ejemplo, la entrada en Britannica:
Estaba en juego la existencia de una fórmula que expresa las raíces de un quintic ecuación en términos de los coeficientes. Esta fórmula, además, debe implicar sólo las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, y división, junto con la extracción de raíces, ya que eso era todo lo que había sido necesaria para la solución de la ecuación cuadrática, cúbica y cuártica ecuaciones. Si dicha fórmula existiera, el quintic en consecuencia puede decirse que resolubles por radicales.
Observe la omisión de exponentation, que supongo que es una errata, pero por supuesto puede ser recuperado por tomar recíproca de las raíces (por ejemplo,$ x^3 = \sqrt[^1/_3]{x} $ ). Ignorando que el problema por el momento, esto parece permitir términos como:
- $ \pi^a $
- $ e^{a \pi i} $
- $ \sqrt{2}^{\sqrt{2}} $
- $ \sqrt[\pi]{a^{b^c}} $
- $ i^a $
...donde $ a,b,... $ (etc.) son los coeficientes del polinomio original (es decir,$ ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f $ ). Esto parece bastante típico de la información, donde hay un montón de posibles ambigüedades.
Entrada de Wikipedia para la Solución Algebraica, es diferente (más preciso?), indicando:
Una expresión algebraica de la solución o la solución de los radicales es una forma cerrada de expresión, y más específicamente, de una forma cerrada expresión algebraica, que es la solución de una ecuación algebraica en términos de los coeficientes, confiando únicamente en la adición, sustracción, multiplicación, división, elevación a potencias enteras, y la extracción de raíces (raíces cuadradas, raíces cúbicas, etc.).
...diferencias incluyen "elevar a entero poderes", y la extracción de raíces, pero no está exactamente claro si la n de la n-ésima raíz puede ser irracional, lo imaginario, o un coeficiente de la ecuación. La mención de "elevar a entero poderes" parece un poco raro, ya que puede aumentar eficazmente a los poderes racionales mediante la combinación de exponentation y la raíz de la extracción $ a^{^7/_{16}} = \sqrt[16]{a^7} $
También falta la mención de un número finito de términos, la cual está presente en una gran cantidad de presentaciones. También asumo que estamos hablando de un número fijo de términos, por lo que no habría ningún número de términos en función de un cálculo intermedio, o las torres de exponentes sobre la base de un coeficiente. Y no hay ninguna mención a si el uso de trascendental constantes están permitidos.
Para ese fin, me gustaría un ejecutable equipo algoritmo que describe la forma de una "solución de los radicales". He aquí un intento de solución de los radicales" corrector usando Mathematica notación:
radicalsQ[_Symbol] := True
radicalsQ[_?NumericQ] := True
radicalsQ[x_ + y_] := radicalsQ[x] && radicalsQ[y]
radicalsQ[x_ - y_] := radicalsQ[x] && radicalsQ[y]
radicalsQ[x_ * y_] := radicalsQ[x] && radicalsQ[y]
radicalsQ[x_ / y_] := radicalsQ[x] && radicalsQ[y]
radicalsQ[x_ ^ _Integer] := radicalsQ[x]
radicalsQ[root[_Integer,x_]] := radicalsQ[x]
radicalsQ[_] := False
...que se puede ejecutar en línea aquí con el mathics.net página web. Puede alguien me apunte en la dirección de una referencia que se puede verificar o contradecir la anterior? Algún día me gustaría aprender a demostrar Abel Teorema de Imposibilidad, pero yo no estoy allí todavía. Pero en la media hora, estoy interesado en este pequeño aspecto.
Aquí están algunas de las pruebas, mostrando algunos de los términos que pase y fallar los criterios anteriores.
trusies = Map[radicalsQ,{123, a, 2*b, (-b + root[2,b^2-4*a*c])/(2*a),
root[16,a^7],root[16,a]^7, Pi*b,
root[2,a*E^I]+b^123-c/d}]
falsies = Map[radicalsQ,{2^a,root[a,b],a^I}]
allTests = (And @@ trusies) && !(Or @@ falsies)
