Subconjuntos Rudin 2.26 infinito Baby con puntos límite implica la compactación

Question

Teniendo algunos problemas con esta pregunta.

Deje $X$ ser un espacio métrico en el que cada subconjunto infinito tiene un límite punto. Demostrar que $X$ es compacto. Sugerencia: Por los Ejercicios 23 y 24, $X$ tiene una contables de la base. De ello se desprende que cada cubierta abierta de a $X$ tiene un contables subcover ${G_n}$, $n = 1, 2, 3, ....$ Si no finito subcolección de ${G_n}$ cubre $X$, luego complementar $F_n$ $G_1 \cup \dots \cup G_n$ es no vacío para cada una de las $n$, pero $\bigcap F_n$ está vacía. Si $E$ es un conjunto que contiene un punto de cada una de las $F_n$, considere la posibilidad de un límite punto de $E$, y obtener una contradicción.

No puedo justificar la frase "de ello Se sigue que cada cubierta abierta de a $X$ tiene una contables subcover ${G_n}$, $n = 1, 2, 3, ....$", estoy con vistas a algo simple? Hay un mapa sencillo entre el contable de base y cualquier subcover?

Answer 1

Deje $\mathscr{B}$ ser una contables de base para $X$, y deje $\mathscr{U}$ ser una cubierta abierta de a $X$. Para cada una de las $x\in X$ no es un porcentaje ($U_x\in\mathscr{U}$tal que $x\in U_x$, y hay un $B_x\in\mathscr{B}$ tal que $x\in B_x\subseteq U_x$. Deje $\mathscr{B}_0=\{B_x:x\in X\}$; claramente $\mathscr{B}_0$ es una contables de la cubierta de $X$. La construcción de la $\mathscr{B}_0$ asegura que para cada una de las $B\in\mathscr{B}_0$ no es un porcentaje ($U_B\in\mathscr{U}$tal que $B\subseteq U_B$; deje $\mathscr{V}=\{U_B:B\in\mathscr{B}_0\}$. Yo reclamo que $\mathscr{V}$ es una contables subcover de $\mathscr{U}$.

• Claramente $\mathscr{V}\subseteq\mathscr{U}$.
• $\mathscr{V}$ es indexado por los contables de establecer $\mathscr{B}_0$, lo $\mathscr{V}$ es contable.
• Deje $x\in X$; por la construcción de $x\in B_x\in\mathscr{B}_0$, lo $x\in B_x\subseteq U_{B_x}\in\mathscr{V}$, lo $\mathscr{V}$ cubre $X$.

Answer 2

No sé si esto es lo que Rudin tenía en mente, pero si dejamos $\mathcal{Y}$ ser una cubierta abierta de a $X$. Entonces a partir de la $X$ tiene una contables base de la $\mathcal{B}$, cada conjunto abierto en $\mathcal{Y}$ puede ser escrito como una unión de (en la mayoría) countably muchos elementos en $\mathcal{B}$. Así que usted puede elegir una contables subcover de $\mathcal{Y}$ eligiendo abrir los conjuntos de la forma $\mathcal{Y}_{\alpha}:B_{\alpha}\in \mathcal{Y}_{\alpha}$. Aquí $\alpha$ es un índice conjunto tal que $\bigcup B_{\alpha}=X$. La elección de $\mathcal{\alpha}$ no puede ser único y algunos $\mathcal{Y}_{\alpha}$ incluso podría coincidir o vacío, pero después de ajustar los índices que podemos llegar a una contables subcover como se desee. Esta construcción parece idéntico con el comentario anterior, aunque.

Answer 3

Su pregunta, en palabras claras y terminología apropiada, es la forma de mostrar que cada segundo-contables espacio topológico (o incluso sólo de espacio métrico) es Lindelöf.

A ver que nota, que si $\cal U$ es una cubierta abierta y $\mathcal B=\{V_n\mid n\in\Bbb N\}$ es una contables de base, y luego tomar las $\mathcal V_n=\{U\in\mathcal U\mid V_n\subseteq U\}$ es una contables de la familia. Es posible que algunas de las $V_n$ están vacías, en cuyo caso se omite. Pero nos hemos quedado con una familia en la mayoría de las $\aleph_0$ no vacía de conjuntos. Pick $U_n\in\mathcal V_n$.

Yo reclamo que $\{U_n\mid n\in\Bbb N\}$ es una cubierta abierta. Esos son todos los bloques abiertos, así que sólo tenemos que ver la una de la cubierta. Deje $x\in X$ ser un punto arbitrario, entonces, por alguna $n\in\Bbb N$ tenemos que $x\in V_n$, y para algunos $U\in\mathcal U$ tenemos que $x\in U$. Por lo tanto, $U\cap V_n$ es un no-vacío conjunto abierto y así hay algunos $m$ tal que $x\in V_m\subseteq U\cap V_n$.

Por lo tanto, $x\in U_m$ por la definición de $\mathcal V_m$, como quería.