Computar el valor de la serie logarítmica: $Q(s,n) = \ln(1)^s + \ln(2)^s + \ln(3)^s + \cdots+ \ln(n)^s $

Question

Dada una serie del tipo:

$$Q(s,n) = \ln(1)^s + \ln(2)^s + \ln(3)^s + \cdots+ \ln(n)^s $$

¿Cómo se evalúa?

Algo que noté fue:

$$Q(1,n) = \ln(1) + \ln(2) + \ln(3)+ \cdots+\ln(n) = \ln(1\cdot 2\cdot 3 \cdots n) = \ln(n!) $$

También he notado:

$$\int^{n}_{1}\ln(x)^s\, dx\quad\sim\quad\sum^{n}_{i = 1}\ln(i)^s$$

Pero estoy realmente interesado en una fórmula exacta o por lo menos uno cuya diferencia con el valor real disminuye progresivamente en lugar de simplemente cuya relación de real progresivamente disminuye.

Answer 1

Aquí es un breve extracto de la discusión a la que he enlazado en mi primer comentario.

Para $s=1$ (que de alguna manera es casi trivial) podemos definir la función $$ t_1(x)=-\zeta '(0)-\ln(\Gamma(\exp(x)))$$ lo que da por ejemplo $$ t_1(\ln(2)) - t_1(\ln(4)) = \ln(2)+\ln(3) $$ y, en general, $$ t_1(\ln(a)) - t_1(\ln(b)) = \sum _{k=a}^{b-1} \ln(k) $$ La clave es, que la apariencia artificial versión de $t_1(x)$ da a la serie infinita $$ t_1(\ln(x)) = \sum _{k=x}^\infty \ln(x) = \ln(x) + \ln(x+1) + \ldots $$

The coefficients of the power series of $t_1(x)$ can easily be given for instance using Pari/GP

t_1(x) + O(x^8)
%1321 = 0.91893853 + 0.57721566*x - 0.53385920*x^2 - 0.32557879*x^3 
      - 0.12527414*x^4 - 0.033725651*x^5 - 0.0068593536*x^6 - 0.0011726081*x^7
      + O(x^8)   

where the coefficients can be described exactly by compositions of Stirling numbers 2nd kind and $\zeta()$-values at positive integer arguments, and where moreover $\zeta(1)$ is replaced by the Euler-$\gamma $ (which, btw, indicates that we have somehow the Ramanujan-like zeta-renormalization at work here)

The first answer is then $$ Q(1,n) = t_1(\ln(1)) - t_1(\ln(n+1)) $$

---

Para $s=2$ $$ t_2(\ln(x)) = \sum_{k=x}^{\infty} \ln(x)^2 $$

tal que analoguously $$ Q(2,n) = t_2(\ln(1)) - t_2(\ln(n+1)) = \sum_{k=1}^n \ln(k)^2 $$

I don't have an exact representation for the power series in terms of zetas and Euler-gamma; here is an approximation, where the constant term is $\zeta"(0)$ (the generation scheme allows arbitrary precision depending on the possible size of involved matrices):

t_2(x) = -2.006356455908585 - 0.1456316909673534*x + 0.6345699670487060*x^2 
        - 0.3868588771980126*x^3 - 0.2407113770463571*x^4 - 0.09916202534448954*x^5
        - 0.02847303775799426*x^6 - 0.005923792714748150*x^7 - 0.0009884022636657563*x^8
        - 0.0001620035246035620*x^9 - 0.00002414672567100699*x^10 
        - 0.000001216451660450317*x^11 + 0.0000001409130267444575*x^12
        - 0.0000001437552825860954*x^13 - 0.00000003587528042872192*x^14 
        + 0.00000001359539422026695*x^15 + O(x^16)

and $$Q(2,n) = - \sum_{k=1}^\infty c_k \cdot \ln(n+1)^k $$ where $c_k$ are the coefficients of the power series and the index $k$ begins at $1$ such that the constant term is skipped.

The numbers and the generation-scheme (even for the higher $s$) puede ser tomado de la discusión a la que he enlazado en mi primer comentario.

Answer 2

Espero que no te importa si uso $\log$ como se utiliza $\ln$ (es más estándar en la teoría analítica de números).

Desde $\log$ es monótona creciente: $$\int_{1}^{n}\log^s x \ dx < Q(s,n) < \int_{1}^{n+1}\log^s x \ dx$$ (con izquierda/derecha extremos y $Q(s,1)=0$).

Esto demuestra que $Q(s,n)=\int_1^n\log^s x + O(\log^s n)$, que ya es una muy buena fórmula asintótica; este término de error es muy pequeño comparado con el término principal (aunque no es una función decreciente que ha pedido para este requisito podría ser demasiado estricto).

La evaluación de las integrales, obtenemos: $$Q(s,n)=\int_{1}^{n}\log^s x \ dx+O(\log^s n)=n\left(\sum_{k=0}^{s}(-1)^{s-k}\frac{s!}{k!}\log^k n\right)+O(\log^s n)\qquad (*)$$ al $s$ es un número entero, y un análogo de la expresión en términos de la función gamma incompleta de lo contrario.

Baste decir, como ahora, como usted probablemente se trate, $$Q(s,n)=n\log^s(n)+O\left[n\log^{s-1}(n)\right]$$The full version is $(*)$.

Answer 3

Puede utilizar fórmula de Euler-Maclaurin para obtener $Q(x,s)=\sum_{n\leq x}(\log n)^s$. Eso sería $x(\log x)^s-s\int_{1}^{x}(\log t)^{s-1} \ dt+O((\log x)^s)$. ¡Debe ser una aproximación buena por tu trabajo!