Estimación en operador elíptico

Question

Asumir la propiedad fuertemente elíptica, es decir $$\sum_{|\alpha|= m}a_\alpha \xi^\alpha\neq0,\ \forall \xi \in \mathbb{R}^d\backslash\{0\},$ $ y $ de $$\sum_{|\alpha|\leq m}a_\alpha i^{|\alpha|}\xi^\alpha\neq0,\ \forall \xi \in \mathbb{R}^d,$ $a_\alpha$ encuentran complext constantes y $\alpha$ multiindices.

¿Es válida la siguiente estimación? $$|\sum_{|\alpha|\leq m}a_\alpha i^{|\alpha|}\xi^\alpha|\geq \mathcal{K}(1+|\xi|^2)^{m/2},\ \forall \xi\in\mathbb{R}^d.$$

¿Si es así, cómo probar?

Estoy pensando en $$f(\tilde{\xi}) = f(t,\xi):=\sum_{|\alpha|\leq m}a_\alpha i^{|\alpha|}t^{m-|\alpha|}\xi^\alpha,$ $, que es positivo homogéneo del orden $m$ y $t^2+|\xi|^2 = |\tilde{\xi}|^2$.

¿Ahora la pregunta sería cómo argumentar que el valor de $f(t,\xi)$ en la esfera de la unidad en $\mathbb{R}^{d+1}$ es estrictamente positivo? ¿Hará el trabajo?

Answer 1

Como se señaló en los comentarios es suficiente para probar que $f>0$ en la unidad de la esfera de $\mathbb{R}^{d+1}$: Por la continuidad de $f$ y compctness de dicha esfera, $f>\mathcal{K}>0$, de tal forma que, si $r^2=t^2+|\xi|^2$

$$ f(t,\xi)=r^mf \left( \frac{t}{r}, \frac{ \xi}{r} \right) > \mathcal{K}r^m, $$ y teniendo en $t=1$ da deseada de la desigualdad.

Para demostrar que $f>0$ en el ámbito de la unidad de cuenta de que, por su condición de ellipticity,

$$ f(0,\xi)=\left| \sum_{|\alpha|=m} a_\alpha i^m \xi^{\alpha} \right| = \left| \sum_{|\alpha|=m} a_\alpha \xi^{\alpha} \right|>0. $$

al $\xi\neq0$. Si $t\neq 0$

$$ f(t, \xi)= |t|^mf \left( 1, \frac{\xi}{t} \right) >0 $$ por su condición de segunda, ya que $f(1, \xi)>0$ todos los $\xi\in \mathbb{R}^d$.

Esto implica que $f(t, \xi)>0$$\mathbb{R}^{d+1} \setminus \{0\}$. Desde la esfera contenida en este conjunto está hecho.