Estoy tratando de hacer sentido geométrico de la definición de curvaturas principales como los valores propios del operador de forma, pero estoy un poco atrapado. ¿Podría darme alguna ayuda en mostrar las curvaturas principales $\kappa_1$, $\kappa_2$ en un $p$ de una superficie $M$ $\mathbb{R}^3$ corresponde a la máxima y mínima de curvaturas euclidianos de Geodesia en $M$ $p$? ¡Gracias!
Respuesta
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La forma del operador $S$ define una forma cuadrática en el espacio de la tangente $T_p(M)$, la segunda forma fundamental $\langle Sv, v \rangle$. Si $e_1, e_2$ son los vectores propios unitarios de $S$ asociados a los autovalores $\kappa_1, \kappa_2$, a continuación, escriba $v = v_1 e_1 + v_2 e_2$. Entonces no es difícil ver que $\langle Sv, v \rangle = \kappa_1 v_1^2 + \kappa_2 v_2^2$. Esto implica que $\kappa_1$ es el valor mínimo de la segunda forma fundamental como $v$ rangos de todos los vectores unitarios y $\kappa_2$ es el valor máximo.
Por otro lado, la curvatura normal de una curva de $\alpha : I \to M$ parametrizada por el arco de longitud en $\alpha(0) = p$ es, precisamente,$\langle S \dot{\alpha}(0), \dot{\alpha}(0) \rangle$. Una vez que usted sabe que asocia a cada vector unitario del espacio de la tangente es una geodésica cuyo vector tangente es que el vector, ya está hecho.
