Necesidad de la condición noetheriana para derivar un resultado sobre ideales primos asociados

Question

Dejemos que $A$ sea un anillo noetheriano y $\mathfrak a$ sea un ideal de $A$ . Entonces es bien sabido que las ideas primarias asociadas de $\mathfrak a$ son aquellos ideales primos que tienen la forma $(\mathfrak a:x)$ para $x \in A$ .

Quiero saber si la condición noetheriana es necesaria o no, es decir, para un anillo arbitrario $A$ (siempre conmutativo con $1$ ) sabiendo que un ideal $\mathfrak a$ de $A$ tiene una descomposición primaria mínima, ¿es posible obtener el mismo resultado?

Answer 1

¡No, no lo es! Si $A$ es un anillo fuertemente laskeriano, entonces todo primo asociado a un ideal $\mathfrak a$ es decir, ideal primo mínimo sobre un ideal de la forma $(\mathfrak a:z)$ , $z\in A$ tiene la forma $(\mathfrak a:x)$ para algunos $x\in A$ . Y, por supuesto, hay anillos fuertemente laskerianos que no son noeterianos.