¿Por qué don ' t existen estos límites?

Question

¿Por qué no existen estos límites?

$$\lim_{x\to 0}\frac1{x^2}$$

¿No estamos aquí sólo acercarse a $x$? ¿Y, por lo tanto no obtener $0$ y evitar la división en "0"?

Y, ¿qué pasa con este límite?

$$\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}$$

Answer 1

No es claro para mí lo que usted pretendía la primera expresión del límite para ser. En el caso del segundo, considere la gráfica de $y=\frac{|x|}{x}$:

$x\to 0^+$ (Es decir, $x$ va a $0$ del lado derecho positivo), $\frac{|x|}{x}\to 1$, sino como $x\to 0^-$ (es decir, $x$ va a $0$ del lado izquierdo negativo), $\frac{|x|}{x}\to -1$. Puesto que estos dos límites "unilaterales" no está de acuerdo, decimos que $$\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}$ $ no existe.

Answer 2

En estos casos, la frase 'no existe' realmente tiene dos significados, uno para cada uno de sus ejemplos.

• para el primer ejemplo, ya sea desde la izquierda o la derecha, te acercas a un número muy grande (de lo que normalmente se llama infinito' o '$\infty$'). Y este "número" (es un poco cuestionable que llamar a un 'número') no es manipulable por nuestros medios habituales (que es el que sigue algunas reglas, pero no todos. Por tanto, para evitar que permita el uso de esto después, nos dicen que 'no existe'

• para el segundo ejemplo, el valor límite es diferente cuando se va de los opuestos direcciones. Ya que no hay una buena manera de elegir entre ellos, y realmente no creo que de pasar a lo largo de pares de números, sólo decir que "el límite no existe'.

Así que, en cierto sentido estas respuestas, $\infty$ y el par { $\infty$ $-\infty$ ), existen, pero no son realmente utilizables por nuestros habituales manipulaciones algebraicas, así que nos impide preocuparse por ellos diciendo: 'no existen'.

Tengo una tendencia a decir que el primer ejemplo es $\infty$ (debido a que hay casos en los que se puede manipular como un valor) y el segundo es 'undefined' (porque es un poco más difícil de manipular una función que a veces devuelve dos valores, cuando en realidad lo que queremos sólo una).

Answer 3

El problema con el primero no es la división por cero. El problema con la primera de ellas es que como los enfoques de $x$$0$, el valor $\frac{1}{x^2}$ obtiene más grande en tamaño; puede conseguir más grande que nada que te importa especificar antes de tiempo, solo por tomar $x$ bastante pequeño. Así que aunque no tenemos en realidad dividir por $0$, el problema es que los valores no acercan nada: "van a $\infty$" (es decir, crece sin límite).