Sabemos por la propiedad del valor medio que las funciones armónicas satisfacen las igualdades \begin{equation} u(x) = \dfrac{1}{|B_r|}\int_{B_r}f dx = \dfrac{1}{|\partial B_r|}\int_{ \partial B_r}udS. \end{equation} Me pregunto si no tenemos funciones armónicas, en su lugar tenemos $\Delta u =f$ . ¿Existe alguna igualdad como la anterior? Por ejemplo añadiendo algún término que dependa de $f$ o su intergral en el lado derecho?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Evan Anderson
Puntos
118832
Considere el problema en $\mathbb{R}^n$ . Si $$ u(x) = \frac{1}{|\partial B(x,r)|}\int_{ \partial B(x,r)}u(y) \,dS(y) ,\tag{1} $$ entonces $u$ tiene que ser armónico. Por favor, consulte la prueba en el libro de Evans sobre la propiedad del valor medio. Porque si definimos $$ \phi(r) = \frac{1}{|\partial B(x,r)|}\int_{ \partial B(x,r)}u(y)\,dS(y) = \frac{1}{|\partial B(0,1)|}\int_{ \partial B(0,1)}u(x+rz)\,dS(z), $$ y $$ \phi'(r) = \frac{1}{|\partial B(0,1)|}\int_{ \partial B(0,1)}\nabla u(x+rz)z\,dS(z) \\ = \frac{1}{|\partial B(x,r)|}\int_{ \partial B(x,r)} \nabla u(y) \cdot n\,dS(y)\\ =\frac{1}{|\partial B(x,r)|} \int_{ B(x,r)} \Delta u(y) \,dy = \frac{1}{|\partial B(x,r)|} \int_{ B(x,r)} f(y) \,dy.$$
Si $f\neq 0$ , $\phi'(r)\neq 0$ y $\phi(r)$ depende de $r$ . Si (1) se cumple, entonces $u(x)$ no es único, contradicción. Si $u$ no es armónico tenemos que encontrar otra cosa.
Si $f$ es radialmente simétrica con respecto al punto $p$ Entonces, usted tiene $u$ es radialmente simétrica con respecto al punto $p$ . Podemos establecer $$u(x) = v(|x-p|) = v(r), \quad \text{ and }\quad f(x) = f(|x-p|) = h(r),$$ entonces $$ \Delta u = v''(r) + \frac{n-1}{r}v'(r) = h(r), $$ Suponiendo que $u(x)$ es suave en todas partes, entonces $$ v(r) = v(0) + \int^r_0\tau^{1-n}\int^{\tau}_0 \xi^{n-1}h(\xi) d\xi, $$ y se traduce en $$ u(x) = u(p) + \int^{|x-p|}_0\frac{1}{|\partial B(p,\tau)|} \left(\int^{\tau}_0 \Big(\int_{\partial B(p,r)} \Delta u(y)dy\Big)dr \right) d\tau, $$ que es una fórmula similar a la del valor medio porque estamos integrando en $(n-1)$ -esferas capa por capa alrededor de un punto $p$ También con un valor límite no especificado.
Por último, se puede representar la solución utilizando la fórmula de Green si el valor de contorno se da en un dominio, por favor, consulte el libro de Evans PDE Capítulo 2 Teorema 12.
