La solución del problema de Cauchy

Question

Deje $a,b\;\epsilon\;\mathbb{R}$ ser tal que $a^2+b^2\neq\;0$. Entonces el problema de Cauchy $a\frac{\partial{u}}{\partial{x}}+b\frac{\partial{u}}{\partial{y}}=1$ ; $x,y\;\in\;\mathbb{R}$ $u(x,y)=x$ $ax+by=1.$

1. tiene más de una solución, si bien $a$ o $b$ es cero

2. no tiene solución.

3. tiene una única solución.

4. tiene una infinidad de soluciones

Mi intento:

Lagrange auxiliar de ecuaciones se $\frac{dx}{a}=\frac{dy}{b}=\frac{du}{1}$ . La solución de estos y usando las condiciones obtenemos la solución que implique $u,x,y$. Como todas las variables se presenta en la solución por lo que el P. D. E. tiene solución única. Pero este método es demasiado largo y laborioso. Como en el problema es de mencionar que se trata de un problema de Cauchy , por lo que creo que puede ser resuelto utilizando problema de Cauchy. Aquí es lineal en el problema de Cauchy. Sé que para resolver un problema de Cauchy. Pero sin resolver cómo se puede determinar que el problema tiene solución única ?

Ayuda por favor...

Answer 1

¿No es $\partial u(x,y) /\partial x=1$y $\partial u(x,y) /\partial y=0$ dejando solo $a=1$ y $b = 0$ y $x=1$ para las ecuaciones restantes? Por lo tanto sólo tenemos infinitamente muchas soluciones porque $y$ puede variar con los reales.