Es posible que un intervalo de confianza de una media no incluya la media muestral.
No forma parte de la definición de un IC que éste deba cubrir siempre la media muestral. Por lo tanto, en teoría se puede construir un procedimiento de IC que nunca cubre la media muestral. Pero la mayoría de la gente lo consideraría un mal procedimiento.
Examinemos, pues, los procedimientos de IC que no sólo se han propuesto seriamente, sino que se han estudiado y se ha comprobado que son buenos. Uno de ellos es el procedimiento de "intervalo de confianza lognormal generalizado" explicado y estudiado ( vía simulation) de Ulf Olsson en el Journal of Statistics Education (Volumen 13, Número 1 (2005), http://www.amstat.org/publications/jse/v13n1/olsson.html ). Es razonable utilizar este procedimiento cuando los logaritmos (naturales) de los $n$ se supone que los datos son independientes e idénticamente distribuidos con una distribución Normal.
Recordemos que cuando el logaritmo de la media poblacional es $\mu$ y la desviación típica poblacional de los logaritmos es $\sigma$ entonces la media poblacional es $\exp(\mu + \sigma^2/2)$ . (Esta relación utiliza la hipótesis lognormal.) Obtendremos límites de confianza para $\mu+\sigma^2/2$ exponenciándolos se obtienen límites de confianza para la media de la población. El procedimiento se basa en un "intervalo de confianza generalizado" conocido por producir buenos intervalos de confianza para combinaciones complicadas de parámetros como ésta.
Calcular el logaritmo medio $\bar y$ y la varianza muestral de los logaritmos $s^2$ de los datos. Un intervalo de confianza simétrico de tamaño $\alpha$ pour $\mu + \sigma^2/2$ se encuentra identificando el centro $100 - 100\alpha\%$ de la distribución de
$$T_{2} = \bar y - Z \sqrt{A^2/n} + A^2/2$$
donde $Z$ y $A^2$ son variables independientes, $Z$ tiene una distribución Normal estándar,
$$A^2 = \frac{s^2}{U^2 / (n-1)},$$
y $U^2$ tiene una distribución chi-cuadrado con $n-1$ grados de libertad. Dado que la distribución de $T_2$ es difícil de trabajar analíticamente, podemos estimarlo mediante simulación. Cuando se exponentiza, el $\alpha/2$ y $1-\alpha/2$ cuantiles de $T_2$ son los límites de confianza inferior y superior para $\exp(\mu+\sigma^2/2)$ .
El trabajo de Olsson indica que una vez $n \ge 20$ más o menos, este procedimiento tiende a alcanzar sus características nominales para $\alpha=0.05$ . Es decir, alrededor de $2.5\%$ de las veces es inferior a $\mu+\sigma^2/2$ y $2.5\%$ de las veces es mayor que $\mu+\sigma^2/2$ .
No hay que buscar mucho para encontrar conjuntos de datos que (a) parecen cumplir los supuestos de esta prueba y para los que (b) el intervalo de confianza no incluye la media muestral. He aquí uno con $n=50$ :
#0.08 0.14 0.21 0.25 0.28 0.3 0.35 0.37 0.39 0.41 0.46 0.51 0.55 0.55 0.66 0.66 0.69 0.71 0.74 0.74 0.77 0.81 0.85 1.04 1.09 1.1 1.17 1.18 1.19 1.25 1.29 1.38 1.54 1.62 1.62 1.68 1.74 1.87 2.11 2.29 2.37 2.42 2.93 2.99 4.8 5.12 5.94 7.09 11.26 120
El IC generalizado de $(1.56, 3.95)$ no incluye la media muestral de $4.03$ .
(Esto se calculó utilizando diez millones de valores simulados de la distribución de $T_2$ así que debería ser bastante preciso. Veinte simulaciones independientes utilizando sólo un millón de valores simulados nunca produjeron un límite superior mayor que $4.02$ aún por debajo de la media muestral).
Aunque los últimos valores de los datos ( $11.26, 120$ ) pueden parecer valores atípicos, su logaritmos no lo son. He aquí un histograma de sus registros:
![Figure]()
OK, ese valor final de $\log(120)$ parece un poco alto. Pero la (muy) potente prueba de Shapiro-Wilk no rechaza enérgicamente la hipótesis de la normalidad ( $p = 0.012$ ). Esto nos da una idea: las distribuciones lognormales (y otras distribuciones de colas gruesas) suelen producir valores inusualmente grandes por su propia naturaleza. Estos valores pueden influir mucho en la media muestral, pero deberían influir menos en estimaciones de las propiedades distributivas subyacentes. No deberíamos encontrar nada paradójico en esto.
(Aunque este ejemplo se refiere a un solo grupo, podría generalizarse para comparar la diferencia de medias entre dos grupos, con un cierto coste en complejidad de los cálculos. Sin embargo, nada cambia realmente: podemos pensar que un IC debe incluir la media muestral sólo cuando nos acostumbramos tanto a utilizar los cálculos de la teoría normal que llegamos a creer, por pura repetición, que todos Las IC deben compartir sus propiedades).
Los siguientes R reproducirá estos cálculos y le permitirá explorar las propiedades del intervalo de confianza lognormal generalizado. En particular, si se pregunta si el hecho de que este IC a veces no cubra la media muestral puede deberse a un error de codificación (¡una posibilidad que siempre me preocupa!), o si en realidad no es un IC para la media poblacional, puede reproducir una parte del trabajo de Olsson simulando la cobertura de este IC, como en
set.seed(17)
x.mean <- exp(mu + sigma^2/2) # The true lognormal (population) mean
sim <- replicate(1e3, {ci.lognormal(exp(rnorm(n, mu, sigma)))})
mean(sim[1, ] <= x.mean & sim[2, ] >= x.mean) # Fraction of times covering the true mean
La salida de $0.949$ muestra que este nominal $95\%$ intervalo ha cubierto el verdadero media $94.9\%$ del tiempo, lo cual es excelente. (Elegí este procedimiento de IC en particular específicamente porque es muy bueno.) Por el contrario, podría comprobar con qué frecuencia este intervalo cubre (digamos) la media geométrica:
mean(sim[1, ] <= exp(mu) & sim[2, ] >= exp(mu)) # Fraction of times covering the GM
La salida de $0.899$ confirma que es no a $95\%$ intervalo de confianza para la media geométrica.
Aquí está el código completo (que tendrá que compilar antes de ejecutar las líneas anteriores).
#
# Generalized confidence intervals for lognormal means.
#
ci.generalized <- function(y, alpha=0.05, n.boot=1e4) {
n <- length(y); m <- mean(y); s2 <- var(y)
z <- rnorm(n.boot)
u2 <- rchisq(n.boot, n-1)
a2 <- s2 / (u2 / (n-1))
sim <- m - z * sqrt(a2 / n) + a2 / 2 # Simulated distribution of T^2
return(quantile(sim, c(alpha/2, 1-alpha/2))) # CI for mu + sigma^2/2
}
ci.lognormal <- function(x, ...) exp(ci.generalized(log(x), ...))
#
# Experiment with simulated data.
#
n <-50
mu <- 0 # Mean log (the actual value is irrelevant)
sigma <- 1/5 # SD of logs (affects the shape of `x`)
set.seed(968) # Reproduces the example in the text
y <- rnorm(n, mu, sigma)
y <- (y - mean(y)) / sd(y) # (Make sure the logs start out looking very Normal)
x <- round(exp(y), 2) # Model a limited-precision data collection process
x[1] <- 120 # Tweak the data to give them a large sample mean
#
# Display the data and look at the CI of the mean.
#
hist(log(x))
ci <- ci.lognormal(x, alpha=0.05, n.boot=1e7) # Takes a few seconds
c(p.value=shapiro.test(log(x))$p.value, ci.lognormal(x), sample.mean=mean(x))
