Quiero estudiar $\sqrt[n]{n}$ y su comportamiento.

Question

Como yo estaba estudiando algunos problemas de límite, me encontré con

$$\sqrt[n]{n}$$

y sorprendentemente descubrieron que el gráfico de esta tiene un máximo cuando $n = e$.

Pensé que no hay manera que esto no es un hecho famoso y estoy muy interesado en él. Busqué algunas palabras como "nth raíces" o "exponentes racionales" pero no he encontrado este hecho de inmediato.

¿Puede alguien orientarme a un enlace o decirme por lo menos lo que esta expresión va con el fin de hacer un poco de investigación?

Answer 1

Simplemente derivar para encontrar el máximo, pero en primer lugar tenga en cuenta que % $ $$\sqrt[n]{n} =n^{1/n}=\exp(\log(n^{1/n}))$esto debería explicar la conexión con $e$. Más detalladamente: %#% $ #% por lo que el derivado es sólo cero cuando $$\frac{dn^{1/n}}{dn}=n^{1/n}\frac{1-\log n}{n^2}$.