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Familia de curvas elípticas con torsión trivial

Me pregunto, si es cierto que el subgrupo de torsión de y2=x3+p (p algunos prime, mayor que 2), es siempre trivial?.

Intentaba demostrarlo usando Nagell Lutz, pero absolutamente no puedo conseguirlo.

Gracias

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InquilineKea Puntos 460

Nagell-Lutz dice que,como usted sabe, que si un punto racional P=(x,y) es de torsión, ambos x e y son enteros y:

  1. y=0

  2. y divide el discriminante de la curva (y, por lo tanto, así debe de y2).

En su caso, el discriminante es 27p2. Así que si y2|27p2 vemos que y puede ser ±3, ±p, ±3p o ±1. Supongamos primero que p5. Entonces uno puede mostrar que, desde el 5 es un lugar de buena reducción y la ramificación de grado es 1, E(Q)tors|E(F5) (aquí este es el orden de la torsión de los grupos de E sobre el campo correspondiente).Es entonces claro que E(Qtors) debe ser 1,2,3 o 6, ya que E(F5)=6. Es claro que no puede haber ningún punto de orden 2.

Para los puntos de orden 3, el uso de la m-división de polinomios para encontrar que si P es un 3-torsión punto, ϕ3(x,y)=3x(x3+4p). Ahora, x=0 es una solución de esta ecuación, y la inserción de esta en su ecuación consigue y2=p, pero como p es primo, no puede haber puntos de la satisfacción de estas ecuaciones en la curva. x3+4p=0 no tiene soluciones racionales, por lo que no 3-torsión puntos de existir.

Para los puntos de orden 4, considere el 4 de divisopn polinomio ϕ4(x,y)/ϕ2(x,y)=2x6+80px38p2. No tiene raíces racionales, por lo que no hay puntos de la orden de 4 de existir. Uno sabe que el punto de pedido 6 existe si los puntos de orden 2 y 3 existen. No hay puntos de orden 2 o 3 existe, por lo que se hace.

Así, para el caso de que p=5, usted puede terminar fácilmente: y^3=x^2+5, Nagell-Lutz le da a usted que y=±3, y=±5, y=±1, y=±15. La comprobación de estos casos, se hace.

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