Me pregunto, si es cierto que el subgrupo de torsión de y2=x3+p (p algunos prime, mayor que 2), es siempre trivial?.
Intentaba demostrarlo usando Nagell Lutz, pero absolutamente no puedo conseguirlo.
Gracias
Me pregunto, si es cierto que el subgrupo de torsión de y2=x3+p (p algunos prime, mayor que 2), es siempre trivial?.
Intentaba demostrarlo usando Nagell Lutz, pero absolutamente no puedo conseguirlo.
Gracias
Nagell-Lutz dice que,como usted sabe, que si un punto racional P=(x,y) es de torsión, ambos x e y son enteros y:
y=0
y divide el discriminante de la curva (y, por lo tanto, así debe de y2).
En su caso, el discriminante es −27p2. Así que si y2|−27p2 vemos que y puede ser ±3, ±p, ±3p o ±1. Supongamos primero que p≠5. Entonces uno puede mostrar que, desde el 5 es un lugar de buena reducción y la ramificación de grado es 1, E(Q)tors|E(F5) (aquí este es el orden de la torsión de los grupos de E sobre el campo correspondiente).Es entonces claro que E(Qtors) debe ser 1,2,3 o 6, ya que E(F5)=6. Es claro que no puede haber ningún punto de orden 2.
Para los puntos de orden 3, el uso de la m-división de polinomios para encontrar que si P es un 3-torsión punto, ϕ3(x,y)=3x(x3+4p). Ahora, x=0 es una solución de esta ecuación, y la inserción de esta en su ecuación consigue y2=p, pero como p es primo, no puede haber puntos de la satisfacción de estas ecuaciones en la curva. x3+4p=0 no tiene soluciones racionales, por lo que no 3-torsión puntos de existir.
Para los puntos de orden 4, considere el 4 de divisopn polinomio ϕ4(x,y)/ϕ2(x,y)=2x6+80px3−8p2. No tiene raíces racionales, por lo que no hay puntos de la orden de 4 de existir. Uno sabe que el punto de pedido 6 existe si los puntos de orden 2 y 3 existen. No hay puntos de orden 2 o 3 existe, por lo que se hace.
Así, para el caso de que p=5, usted puede terminar fácilmente: y^3=x^2+5, Nagell-Lutz le da a usted que y=±3, y=±5, y=±1, y=±15. La comprobación de estos casos, se hace.
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