Teorema de Stokes para los colectores de Lorentz

Question

Leyendo el Tao del libro: Dispersivas no Lineales de Ecuaciones se me ocurrió una identidad (el flujo de energía de identidad para la ecuación de onda, página 90) para que la prueba se utiliza el teorema de Stokes. En este caso se utiliza el teorema de Stokes en un truncado hacia atrás lightcone:

$\{(t,x):0\leq t \leq t_1, |x| \leq T_* -t\}$

El problema aquí es que, cuando se integran a lo largo de la frontera del cono; la parte curva (es decir, el manto):

$\{(t,x) : 0 &lt t &lt t_1, |x| = T_* -t\}$

es un null hipersuperficie con respecto a la costumbre de la métrica de Minkowski, que él utiliza. Cuando se restringe la métrica de Minkowski nulo hipersuperficie de obtener un degenerado métrica. Él explica que podemos solucionar esta aparente de la carga en una nota a pie de página:

Estrictamente hablando, $\Sigma_1$ [que es este límite] no es bastante spacelike, lo que provoca dS [inducida por el área de formulario] para degenrate a cero y $n_\beta$ [normal] para alargar hasta el infinito. Pero el área de $n_\beta dS$ queda bien definido en el límite; omitimos el estándar detalles.

Soy consciente de que el teorema de Stokes es ajeno a la métrica (que es, funciona en cualquier colector, con o sin métrica). Además, en este caso en particular la forma de volumen en el lightcone coincide con el volumen de la forma dada por la costumbre métrica Euclidiana, que podemos utilizar, y por lo tanto interpretar la integral como una integral en el espacio Euclidiano; y, a continuación, la inducida por la métrica es perfectamente válido y obtener la identidad pie de la letra. Es, sin embargo, me preocupa que este procedimiento probablemente no se extiende hasta el general de Lorentz colectores. También, en la explicación dada en la nota de pie de página que describe lo que parece ser otra forma de solucionar el problema, que al parecer es estándar, pero para los que no he sido capaz de encontrar ninguna referencia.

Supongo que se podría integrar en una estirada lightcone" con un no-lightlike de límites y tomar a los límites de la frontera se convierte en lightlike; y probablemente esto me dan la misma respuesta, sin embargo, no parece ser lo que él está describiendo (a la derecha?).

Hay algo donde pudiera aprender cómo hacer esto en términos más generales?

Answer 1

La canónica de referencia para esto sería Friedlander es La Ecuación de Onda en una Curva el Espacio-tiempo, en particular, busque el término "Leray forma". En la práctica, tenga en cuenta que en una estimación de la energía que está utilizando realmente Stoke teorema de la forma siguiente: vamos a $J$ ser la energía actual (un campo de vectores) y deje $\omega$ ser el espacio-tiempo de forma de volumen, si $\Omega$ es un dominio con pieza de sabios suave límites, considerar el teorema de Stokes aplica a la forma $\iota_J\omega$ donde $\iota$ es el interior de derivados. Tenemos a continuación

$$ \int_{\partial\Omega} \iota_J\omega = \int_\Omega \mathrm{d}\iota_J\omega = \int_\Omega (\mathrm{div} J)\omega $$

La parte clave que puede ser confuso es cómo convertir esto en un parametrizada integral en un null límite de la pieza. Pero esta parte es la que acaba de hacer por la elección de coordenadas locales! (De hecho, la mayoría de los contenidos de la Leray forma formalismo se limita a la elección de coordenadas locales de una manera que es "compatible".)

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Una manera de acercarse a Leray formas es la de considerar el siguiente: vamos a $u$ ser una definición de la función de la nula límite. Podemos encontrar una forma de $\eta$ tal que $\omega = \mathrm{d}u \wedge \eta$. Este formulario le da una forma de volumen en el null límite, pero depende de la elección de $u$: si $u' = fu$ donde $f$ es un nonvanishing función suave, a continuación,$\mathrm{d}u' = u\mathrm{d}f + f\mathrm{d}u$, sobre el valor null hipersuperficie $u$ se desvanece, ya que es una definición de función, así que usted puede ver que a lo largo de la superficie de la correspondiente $\eta'$ se $f^{-1}\eta$. El punto es que ahora se puede interpretar

$$ \int_{\partial\Omega} \iota_J\omega = \int_{\partial\Omega} \iota_J (\mathrm{d}u\wedge \eta) = \int_{\partial\Omega} J(u) \eta $$

Si usted fix $u$ $\eta$ esto permite comparar las integrales para diferentes $J$s.

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Otro modo de enfoque es comenzar con un null campo de vectores $\ell$ a lo largo de la nula hipersuperficie, y foliadas null hipersuperficie con el espacio-como secciones. En cada uno de los espacio-como las secciones de obtener la canónica inducida por la forma de volumen $\mathrm{d}S$. Podemos tomar $\bar{\ell}$ a ser un null campo vectorial tal que $g(\ell,\bar{\ell}) \neq 0$, $\iota_{\bar{\ell}} \mathrm{d}S = 0$. A continuación, la métrica, la reducción de $\ell^\flat \wedge \bar{\ell}^\flat \wedge \mathrm{d}S$ es proporcional a la forma de volumen. Así que por un escalar renormalisation de $\ell$ y/o $\bar{\ell}$ podemos suponer que la forma anterior es de hecho la forma de volumen. A continuación, puede utilizar $\bar{\ell}^\flat \wedge \mathrm{d}S$ como la forma de volumen en el null hipersuperficie y considerar la posibilidad de $\int_{\partial\Omega} \iota_J\omega = \int_{\partial\Omega} g(\ell,J) \bar{\ell}^\flat \wedge \mathrm{d}S$. Este es probablemente más cerca de lo que Terry esbozado en su libro. (Tenga en cuenta que este párrafo y el anterior, en realidad describir isomorfo procedimientos, sólo enunciado de forma ligeramente diferente.)