Un límite difícil (forma indeterminada)

Question

Mientras que la tutoría llegué a este límite sé que este límite es obviamente 1, pero ¿cómo voy a mostrar esto formalmente

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He intentado logaritmos, etc.

Answer 1

Sugerencia: $$ \ lim _ {\ eta \ to \ infty} (2 \ eta 5) ^ x - (2 \ eta) ^ x = \ lim_ {\ eta \ to \ infty} 5 \ eta ^ {x-1 } \ frac {(2 5 / \ eta) ^ x - 2 ^ x} {5 / \ eta} $$

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Método alternativo: realiza la sustitución$t = 1/\eta$ para volver a escribir esto como $$ \ lim_ {t \ a 0 ^ } (2 / t 5) ^ x - (2 / t) a 0 ^ } \ frac {(2 5t) ^ x - 2 ^ x} {t ^ x} $$ Ahora, aplica L'Hopital.

Answer 2

Otra forma que la sugerida por Omnomnomnom es la siguiente. Olvídate del$+1$ por un momento y considera $$ \begin{aligned} (2\eta + 5)^x - (2\eta )^x & = (2\eta)^x\left(1+\frac{5}{2\eta}\right)^x-(2\eta)^x\\ & = (2\eta)^x\left(\left(1+\frac{5}{2\eta}\right)^x-1\right). \end {aligned} $$ Entonces puedes usar ese $$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}(2\eta)^x\left(\left(1+\frac{5}{2\eta}\right)^x-1\right)& = \lim_{n\to\infty}\frac{\left(1+\frac{5}{2\eta}\right)^x-1}{\frac{1}{(2\eta)^x}} \end {aligned} $$ Y entonces puedes inferir la regla de Hospitales.