Calculando sumas y sumas dobles

Question

Me gustaría comprobar si mi respuesta es correcta:

1) Calcular$$\sum_{i=1}^n(3i+4)$$. I got $ (3n ^ 2 11n) / 2$ using the property that $ \ sum_ {i = 1}

2) No estoy seguro de cómo abordar las sumas dobles como esto:$$\sum_{x = 1}^n\sum_{y=1}^n(x+y−1)$ $. ¡Ayude por favor a explicar y la respuesta correcta sería apreciada!

Answer 1

1) Me parece bien.

2) Tenga en cuenta lo siguiente:

ps

Answer 2

Segunda pregunta

(Solución actualizada)

Esto puede ser considerado como un $2$-D versión de la Gaussiana de vinculación técnica para la suma:

$$\begin{align} S&=\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^n (x+y-1)\\ &=\sum_{r=1}^n\sum_{s=1}^n (2n-r-s+1) &&\scriptsize(r=n+1-x, s=n+1-y)\\ &=\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^n (2n-x-y+1) &&\scriptsize\text{(replacing indices %#%#% with %#%#%)}\\ 2S &=\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^n (x+y-1)+(2n-x-y+1)\\ &=2\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^n n\\ S&=\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^n n\\ &=\color{red}{n^3} \end{align}$$

---

A modo de ilustración, si $r,s$,

$$\scriptsize\begin{align} 2\times \boxed{\begin{array} &1&2&3&4&5\\ 2&3&4&5&6\\ 3&4&5&6&7\\ 4&5&6&7&8\\ 5&6&7&8&9 \end{array}} &= \boxed{\begin{array} &1&2&3&4&5\\ 2&3&4&5&6\\ 3&4&5&6&7\\ 4&5&6&7&8\\ 5&6&7&8&9 \end{array}} +\boxed{\begin{array} &1&2&3&4&5\\ 2&3&4&5&6\\ 3&4&5&6&7\\ 4&5&6&7&8\\ 5&6&7&8&9 \end{array}}\\ &=\boxed{\begin{array} &1&2&3&4&5\\ 2&3&4&5&6\\ 3&4&5&6&7\\ 4&5&6&7&8\\ 5&6&7&8&9 \end{array}}+ \boxed{\begin{array} &9&8&7&6&5\\ 8&7&6&5&4\\ 7&6&5&4&3\\ 6&5&4&3&2\\ 5&4&3&2&1 \end{array}}\\ &=\boxed{\begin{array} &10&10&10&10&10\\ 10&10&10&10&10\\ 10&10&10&10&10\\ 10&10&10&10&10\\ 10&10&10&10&10\\ \end{array}}\\ \boxed{\begin{array} &1&2&3&4&5\\ 2&3&4&5&6\\ 3&4&5&6&7\\ 4&5&6&7&8\\ 5&6&7&8&9 \end{array}} &= \boxed{\begin{array} &5&5&5&5&5\\ 5&5&5&5&5\\ 5&5&5&5&5\\ 5&5&5&5&5\\ 5&5&5&5&5\\ \end{array}}\\ Y=5^3\end{align}$$ ($x,y$ horizontal L a R, $n=5$ vertical hacia abajo, los números en la caja de $x$ y deben sumarse)

Answer 3

1) Tienes que derecho.

2) Hacer la suma de$y=1$ a$n$ como si$x$ es una constante. Luego sume el resultado sobre los valores de$x$

$\sum_{y=1}^n(x+y−1)= \dfrac {n(n+1)}{2}+n(x-1)= \dfrac {n(n+1)-2n}{2}+nx=\dfrac {n(n-1)}{2}+nx$

$\sum_{x = 1}^n\sum_{y=1}^n(x+y−1)=\dfrac {n^2(n-1)}{2}+n \dfrac {n(n+1)}{2}=n^3$

Answer 4

Un par de trucos:

1. la suma de los términos es siempre el producto de la cantidad de términos y el valor promedio de los términos,

2. el valor promedio de un término constante es la constante,

3. el valor promedio de un término lineal es la media de los valores extremos.

Entonces por 1. y 3.,

$$\sum_{i=1}^n(3i+4)=n\frac{3+4+3n+4}2.$$

Para la suma, se puede descomponer en tres doble sumas de dinero, en $x$, $y$ y $-1$.

Entonces por 1., 2. y 3.,

$$\sum_{x = 1}^n\sum_{y=1}^n(x+y−1)=2n\frac{n^2+n}2-n^2.$$

---

Justificación:

En el doble de la suma de $x$, $x$ es una constante para el interior de la suma, que es igual a $nx$. El exterior de la suma de los rendimientos

$$n\frac{n^2+n}2.$$

Por simetría, la suma de $y$ es igual que en $x$, por lo tanto el factor de $2$.