$\sum_{i=1}^{\infty}a_n*b_n $ converge para todos$\lim_{n \rightarrow \infty}b_n = 1$, muestra que$a$ converge absolutamente

Question

Así que esto se da:$\sum_{n=1}^{\infty}a_n*b_n $ converge para todas las secuencias$(b_n)$, tal que$\lim_{n \rightarrow \infty}b_n = 1$.

De alguna manera debería ser posible que$(a_n)\,$ converja absolutamente, es decir$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ converge.

He estado reflexionando con esto durante horas, y agradezco cualquier ayuda e ideas.

Answer 1

Permítanme dar una prueba.

A partir de la asunción, de curso $\sum a_n$ converge. Y también $\sum a_nb_n$ converge para todos los $\lim b_n=0$. Nota: aquí es $0$ ya que nadie puede reemplazar a $b$ $b-1$ para obtener la convergencia.

Ahora suponemos que, al contrario, $\sum a_n$ no converge absolutamente.

Tome $A_n=\max\{a_n,0\}$, la no-parte negativa y $B_n=-\min\{a_n,0\}$, la no-parte positiva. A continuación,$\sum|a_n|=\sum A_n+\sum B_n=\infty$. Por simetría, podemos suponer que la $\sum A_n$ es infinito (o simplemente tomar el no-parte positiva en su lugar). Así podemos encontrar un aumento de la secuencia de interger $n_k$ inductivamente tal que $n_0=1$ $$\sum_{n_k+1}^{n_{k+1}}A_n>k.$ $ Ahora tome $$b_n = \begin{cases} \frac{1}{k} & \text{ if } n_k<n\leq n_{k+1} \text{ and } A_n\neq 0;\\ 0 &\text{ if } A_n=0. \end{casos}$$ A continuación, se puede ver que $\lim b_n=0$ pero $$\sum a_nb_n=\sum A_nb_n=\sum_k\sum_{n_k+1}^{n_{k+1}}A_n\cdot\frac{1}{k}>\sum_k1=\infty.$$ Una contradicción.