¿Es un espacio topológico una estructura?

Question

En el modelo de la teoría, una estructura (o "modelo") que normalmente se define como un conjunto junto con algunos finitary relaciones y/o operaciones en ese conjunto. Por ejemplo, un grupo puede ser visto como un par de $(G,*),$ donde $*$ es una operación binaria definida en $G$.

En virtud de esta definición, puede que un espacio topológico ser visto como una estructura? Yo creo que "no".

Suponiendo que no, mi pregunta es esta. Corto de toda regla categorification, en donde las estructuras se convierten en "cuadros negros" diferenciados sólo por los morfismos entre ellos, hay una definición más general de la estructura que abarca espacios topológicos, también?

He puesto en la categoría "teoría" como una etiqueta en la esperanza de obtener más clientes potenciales.

Answer 1

Espacios topológicos no son estructuras algebraicas (en el sentido de las mónadas). De hecho, en la presencia de el axioma de elección, uno puede mostrar que cualquier categoría que es monádico $\textbf{Set}$ es una categoría regular, sino $\textbf{Top}$ es conocido por ser no regular. Sin embargo, la categoría de $\textbf{Frm}$ de marcos es monádico $\textbf{Set}$, de modo que la teoría de las configuraciones regionales (= inútil espacios topológicos) es, en cierto sentido, coalgebraic.

También existe una categoría de la teoría de la noción de estructura topológica que va algo como esto.

Definición. Deje $\Gamma : \mathcal{C} \to \mathcal{S}$ ser un functor y deje $B : \mathcal{J} \to \mathcal{C}$ ser un (posiblemente grande) diagrama. Un $\Gamma$-inicial de cono es un cono $\alpha$ a partir de un objeto $A$ con el diagrama de $B$ tal que, para todos los conos $\beta$$\Gamma C$$\Gamma B$, no existe un único morfismos $f : C \to A$ $\mathcal{C}$ tal que $\Gamma (\alpha_j \circ f) = \beta_j$ todos los $j$$\mathcal{J}$.

Un topologising fibration (o topológico functor en el sentido de [Adámek, Herrlich, y Streicher]) es un functor $\Gamma : \mathcal{C} \to \mathcal{S}$ tal que, para cada (posiblemente grande) discretos diagrama de $B : \mathcal{J} \to \mathcal{C}$ y cada cono $\beta$ a partir de un objeto $X$ con el diagrama de $\Gamma B$, existe un $\Gamma$-inicial de cono $\alpha$ tal que $\beta = \Gamma \alpha$.

En efecto, lo que estamos axiomatising es la existencia inicial de topologías. Esta definición ya que permite probar muchas cosas: por ejemplo, cualquier topologising fibration es fiel, tiene tanto de izquierda como de derecha adjoints, y es un Grothendieck fibration. Por otra parte, la definición es la auto-dual: $\Gamma : \mathcal{C} \to \mathcal{S}$ es un topologising fibration si y sólo si $\Gamma^\textrm{op} : \mathcal{C}^\textrm{op} \to \mathcal{S}^\textrm{op}$ es un topologising fibration, es decir, que también te $\Gamma$-terminal de los ascensores de los cocones!

Answer 2

Usted puede conseguir cerca de si se restringen a compacto Hausdorff espacios: estos resultan ser precisamente establece juntos con una familia de infinitary operaciones, una para cada ultrafilter en cada conjunto de índices $I$. Esta operación calcula el límite con respecto a la ultrafilter, la topología está completamente determinado por los límites de ultrafilters, y una función continua es, precisamente, una función de respetar los límites de ultrafilters. (Esta definición tiene sentido para cada espacio topológico, excepto que un espacio topológico compacto iff ultrafilters siempre tienen al menos un límite y Hausdorff iff ultrafilters siempre tienen un límite, por lo tanto tenemos una auténtica operación de iff es un espacio compacto Hausdorff).

De todos modos, usted puede aumentar la definición de la estructura, sin embargo, te quiero. Espacios topológicos no encajan en el marco de describir porque no hay un segundo conjunto flotando en el aire, es decir, los dos elementos, establecer $2 = \{ 0, 1 \}$. Funciones de $X \to 2$ describir los subconjuntos de a $X$, por lo que una topología en $X$ es una función de $(X \to 2) \to 2$ la satisfacción de algunos axiomas. En la final, el modelo de la teoría es buena y todo, pero las categorías que obtienen de ella son algo restringida en relación a todos los otros maravillosos categorías por ahí.