Debemos abandonar el "ingenuo" lenguaje de funciones dependiendo de coordenadas y considerar funciones como mapas entre los matemáticos de los espacios, de la que sólo se expresan en coordenadas locales, después de que sus dominios se han definido.
El punto de partida tanto para el Lagrangiano y el formalismo Hamiltoniano es un espacio de configuración de $Q$, cuyas coordenadas se denominan $q^i$. Debe ser pensado como el espacio de las posiciones del sistema bajo consideración. Los dos formalismos ahora inmediatamente toman caminos diferentes: Lagrangiana de la mecánica se lleva a cabo en la tangente bundle $TQ$, Hamiltoniana de la mecánica en la cotangente del paquete de $T^\ast Q$. Las coordenadas locales en $TQ$ son denotados $(q^i,\dot{q}^i)$, las coordenadas locales en $T^\ast Q$$(q^i,p_i)$. Tenga en cuenta que, puesto que no hay métrica en $Q$, no tiene una canónica de la identificación de las tangentes y cotangents y por lo tanto no puede cambiar entre la descripción libremente como uno podría ser utilizado a partir de la geometría de Riemann. Nota además de que $\dot{q}$ no es el derivado de la nada, es simplemente una notación para una nueva coordenada.
El Lagrangiano es una función de $L : TQ\to \mathbb{R}$. Dado esto, podemos definir una función de $f : TQ\to T^\ast Q$ en coordenadas locales por
$$ f(q,\dot{q}) = \left(q,\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}(q,\dot{q})\right)$$
y los asociados de Hamilton $H : T^\ast Q \to \mathbb{R}$ en coordenadas locales como la transformación de Legendre
$$ H(q,p) = \sup_{\dot{q}}\left(p_i \dot{q}^i - L(q,\dot{q})\right).$$
Debe quedar claro aquí que ni $H(q,\dot{q})$ ni $L(q,p)$ son objetos significativos en este contexto - $H$ $L$ actuar en los diferentes espacios, no se puede alimentar a un $p$ a $L$ a todos. Observe ahora que $f$ no nos permite hacer esto, en cierto sentido, sólo rigurosamente: Si $f$ es invertible, uno puede definir un "co-Lagrange" o "Hamiltoniana de Lagrange" $L_H : T^\ast Q \to\mathbb{R}$$L_H(q,p) = L(f^{-1}(q,p))$. Fundamentalmente, $L$ $L_H$ son funciones diferentes y debe, en aras de la claridad, nunca se denota por el mismo símbolo.
La expresión en la definición de la transformación de Legendre obtiene su extremo en
$$ p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}(q,\dot{q}),$$
lo que significa que
$$ H(q,p) = p_i\dot{q}^i - L(q,\dot{q})\tag{0}$$
tiene exactamente un triple $(q,\dot{q},p)$ tal que
$$f(q,\dot{q}) = (q,p).\tag{1}$$
Tenga en cuenta que el hecho de que $H$ no depende de $\dot{q}$ significa que $\dot{q}$ en eq. (0) es implícitamente una función de $\dot{q}(q,p)$ como se define implícitamente por la eq. (1).
Sólo cuando imponemos la relación eq. (1) hay una relación funcional entre el $q,\dot{q},p$, de lo contrario no la hay. Esta es la razón por la que, como resumen de las funciones, el Lagrangiano no es una función de $p$ y el Hamiltoniano no es una función de $\dot{q}$ - estas son las coordenadas en espacios diferentes sin relación entre sí. Es sólo cuando nos imponen eq. (1) en orden a expresar el Hamiltoniano sin la extremisation procedimiento previsto en la transformación de Legendre que se relaciona, y no necesariamente de forma exclusiva. Si $f$ a no es invertible, entonces el Lagrangiano del sistema es una teoría de gauge y el Hamiltoniano del sistema es limitado tanto en términos que esencialmente significa que la relación entre el $p$ e las $\dot{q}$ no está definida de forma única.
Por último, permitidme que me dirija estrechamente relacionados con la confusión que, no obstante, los cultivos debido a la misma razón, es decir, no respetando las de los dominios de las funciones se definen en. El $q,\dot{q}$ argumentos de la de Lagrange son independientes, y se vuelven dependientes sólo cuando consideramos un camino de $\gamma: I\to Q$, lo que induce un camino de $\tilde{\gamma} : I\to TQ, t\mapsto (\gamma(t),\dot{\gamma}(t))$ sobre la tangente del paquete, donde $\dot{\gamma}$ ahora indica el tiempo real de derivados, es decir, el vector tangente campo a $\gamma$. La acción es una función de $S : [I,Q]\to\mathbb{R}$ donde $[I,Q]$ denota el espacio de todos los mapas $I\to Q$, y se define como
$$ S[\gamma] = \int_I L(\tilde{\gamma}).$$
Cuando ahora considerando esta acción, el físico a menudo escribe las coordenadas de $\tilde{\gamma}$$(q(t),\dot{q}(t))$, y es en este contexto en el que $\dot{q}(t)$ es verdaderamente un tiempo-dependiente de la función y la derivada de $q(t)$.
