Dejemos que $X$ y $Y$ sean espacios topológicos, y llamar a una función $f:X\to Y$ salvaje si la preimagen $f^{-1}(\{y\})$ es denso en $X$ por cada $y\in Y$ -- o, de forma equivalente, si la imagen de todo subconjunto abierto no vacío de $X$ es todo $Y$ .
¿Puede cada función $X\to Y$ ser aproximado punto de vista por funciones salvajes?
Para $\mathbb Q\to\mathbb Q$ la respuesta es sí si queremos aproximarnos $f$ y, a continuación, seleccione un suryecto $h:\mathbb Z\to \mathbb Q$ y aproximado $f$ por $$ f_n(x) = \begin{cases} h(\lfloor \tan q \rfloor) & \text{if }x=(2p+1)2^{-q}\text{ for }p,q\in\mathbb Z, q>n \\ f(x) & \text{otherwise} \end{cases} $$
Para $\mathbb Q\to\mathbb R$ la respuesta es no por la trivial razón de que no hay funciones salvajes.
Para $\mathbb R\to\mathbb R$ podemos ampliar la construcción para $\mathbb Q\to\mathbb Q$ si sólo un conjunto de Vitali $A$ existe:
$$ f_n(x) = \begin{cases} a+h(\lfloor \tan q \rfloor) & \text{if }x=a+(2p+1)2^{-q}\text{ for }a\in A, p,q\in\mathbb Z, q>n \\ f(x) & \text{otherwise} \end{cases} $$
Pregunta: ¿La respuesta sigue siendo afirmativa para $\mathbb R\to\mathbb R$ si no tenemos suficientes opciones para construir un conjunto Vitali?
Funciones de la naturaleza $\mathbb R\to\mathbb R$ existen sin importar si tenemos elección o no -- como la función base-13 de Conway -- pero no es obvio que haya suficientes de ellos para ser densos en $\mathbb R^{\mathbb R}$ bajo la convergencia puntual.
(Inspirado por esta pregunta .)
