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Question

Necesito conseguir

ps

Estoy pensando en usar la integración por partes, pero$$\int t^2 e^{-2i\pi nt}\,dt$ me está disparando. ¿Alguien puede ayudar? ¡Gracias!

Answer 1

Puede establecer$2i\pi n=\alpha$, luego $$ \begin{eqnarray} \int t^2 e^{-\alpha t}\mathrm dt&=&\int \frac{d^2 e^{-\alpha t}}{d\alpha^2} \mathrm dt=\frac{d^2}{d\alpha^2}\int e^{-\alpha t}\mathrm dt=-\frac{d^2}{d\alpha^2}\left(\frac{e^{-\alpha t}}{\alpha }\right)=\\ &=&-\frac{(i-(1+i) \pi n t) (1+(1+i) \pi n t)}{4 \pi ^3 n^3}e^{-2 i \pi n t}. \end {eqnarray} $$

Answer 2

Insinuación:

$2in\pi t=z \implies dt=\dfrac{dz}{2in\pi}$

$\therefore\displaystyle\int t^2e^{-2in\pi t}dt=-\left(\dfrac{1}{8in^3\pi^3}\right)\displaystyle\int z^2 e^{z}\ dz$

Answer 3

Observe que \begin{align} \frac{d}{dt} t^2 e^{-2\pi i nt}&=2t e^{-2\pi i nt}-2\pi i n t^2 e^{-2\pi i nt},\\ \frac{d}{dt} t e^{-2\pi i nt}&= e^{-2\pi i nt}-2\pi i n t e^{-2\pi i nt},\\ \frac{d}{dt} e^{-2\pi i nt}&= -2\pi i n e^{-2\pi i nt}. \end {align} Así \begin{align} t^2 e^{-2\pi i nt} &= \frac{2}{2\pi i n}t e^{-2\pi i nt} - \frac{d}{dt} \frac{t^2}{2\pi i n} e^{-2\pi i nt} \\ &= \frac{2}{(2\pi i n)^2} e^{-2\pi i nt} - \frac{d}{dt} \left(\frac{t^2}{2\pi i n} e^{-2\pi i nt}+\frac{2t}{(2\pi i n)^2}te^{-2\pi i nt}\right)\\ &=-\frac{d}{dt}\left(\frac{t^2}{2\pi i n}+\frac{2t}{(2\pi i n)^2}+\frac{2}{(2\pi i n)^3}\right) e^{-2\pi i nt}. \end {align}