Transformada de Fourier de un triángulo

Question

Consideremos un n-gono regular de 2 dimensiones cuyos vértices se encuentran en el círculo unitario. Sea $\chi_n$ denotan la función característica de este polígono y $\widehat{\chi}_n$ su transformada de Fourier. El caso especial n = 4 se presta especialmente bien al cálculo. A saber, sin mucha pérdida de generalidad, girar el cuadrado de manera que sus lados sean paralelos a los ejes de coordenadas. El resultado es un producto que conduce a una determinación inmediata de $\widehat{\chi}_4$ como un producto de funciones sinc.
¿Cómo se compara esto con otros valores de n?

Preguntas: (1) ¿Cuál es la forma más sencilla de evaluar $\widehat{\chi}_3$ , ¿la transformación de un triángulo equilátero?

(2) Tener la $\;$ $\widehat{\chi}_n$$ \N se ha calculado explícitamente para un n ² pequeño.

(3) Denote por $\,$ $\chi_\infty$ $\,$ la función característica del disco unitario y que $\,$ $\widehat{\chi}_\infty$ sea su transformada de Fourier (esencialmente una función de Bessel). $\,$ ¿Existen límites claros - utilizando cualquier norma - para la diferencia $\,$ $\Vert$ $\widehat{\chi}_\infty$ - $\widehat{\chi}_n$$|Vert$ $\,$ ? $ \Gracias

Answer 1

Una forma de hacerlo es establecer una integral sobre un triángulo con vértices en los puntos $(0,1)$ , $(-\sqrt{3}/2,-1/2)$ , $(\sqrt{3}/2,-1/2)$ . La FT puede entonces escribirse como

$$\int_{-\sqrt{3}/2}^0 dx \, e^{i k_x x} \, \int_{-1/2}^{-\sqrt{3} x+1} dy \, e^{i k_y y} + \int_0^{\sqrt{3}/2} dx \, e^{i k_x x} \, \int_{-1/2}^{\sqrt{3} x+1} dy \, e^{i k_y y}$$

que es complicado pero sencillo.

Answer 2

Para un $n$ -gon $P$ cuyo límite en orientación positiva es $p_1 \to p_2 \to\ldots \to p_n \to p_1, \ \ p_j = (x_j,y_j)$ y la función de indicador $\displaystyle\chi(x,y) = 1_{(x,y) \in P}$ entonces la derivada distributiva $\partial_x\chi$ es la distribución $$\partial_x \chi = -\sum_{j=1}^n a_j \delta_{[p_j \to p_{j+1}]}$$ indicando el límite de $P$ , donde $a_j = \frac{y_{j+1}-y_j}{\|p_{j+1}-p_j\|}$ es el $\frac{dy}{d\|.\|}$ pendiente de la arista $[p_j \to p_{j+1}]$ y $\delta_{[p_j \to p_{j+1}]}$ es la distribución definida por $\langle \delta_{[p_j \to p_{j+1}]},\phi \rangle= \int_{p_j}^{p_{j+1}} \phi(x) d\|x\|$ .

Así, $$i \omega_x \widehat{\chi}(\omega) = -\sum_{j=1}^n a_j\int_{p_j}^{p_{j+1}} e^{-i (\omega,u)} d \|u\|= -\sum_{i=1}^n a_i \frac{e^{-i (\omega,p_{j+1})}-e^{-i (\omega,p_{j})}}{-i(\omega ,p_{j+1}-p_j)}$$

$$\widehat{\chi}(\omega) = \iint_P e^{-i (\omega,u)} d^2u= \frac{-1}{ \omega_x}\sum_{i=1}^n \frac{x_{j+1}-x_j}{\|p_{j+1}-p_j\|} \frac{e^{-i (\omega,p_{j+1})}-e^{-i (\omega,p_{j})}}{(\omega ,p_{j+1}-p_j)}$$

(es decir, reprobando el teorema de Green pero también dejando clara la contribución de las aristas. Y no he comprobado la corrección en un ejemplo)