Pruebalo $|A|=2$

Question

$A$ Es un conjunto de números naturales distintos de cero,$|A| \geq 2$, que tiene la siguiente propiedad:$\forall a,b \in A, a>b$, tenemos$\frac{[a,b]}{a-b}\in A$ mínimo múltiplo común de$[x,y]$ y$x$).

Demuestre que$y$ tiene exactamente$A$ elementos.

Comencé a asumir$2$ y$b=\min A$.
De$a \in A-\{b\}$, se sigue que$(a-b)|[a,b]$
Dado que$(a-b)|ab.$, obtenemos que$(a-b)|(a-b)$, así que$(a-b)|(ab-b(a-b))$
Descubrimos que$(a-b)|b^2.$, de ahí$a-b \leq b^2$, lo que significa que$a \leq b+b^2$ es finito.

Eso es todo lo que he logrado hacer.

Answer 1

Dejar que los dos más pequeños números de ser$b$$a$, de tal manera que $b < a$. Deje que su mcd ser $k$. Por lo $a = a_1k$$b=b_1k$.

Ahora $a_1b_1k \over a_1-b_1$ es un número entero, pero sabemos $(a_1,b_1)=1$ $a_1-b_1 | k$ o $a_1-b_1 = 1$, donde el último caso implica trivialmente $a_1-b_1 | k$.

Así que vamos a escribir $k = m(a_1-b_1)$, por lo que $a_1b_1k \over a_1-b_1$$ = a_1b_1m$.

Tenemos tres números en el orden siguiente $$b_1m(a_1-b_1) < a_1m(a_1-b_1) \leq a_1b_1m$$

Ahora toma el tercer número, y el primer número,

Sabemos $lcm(a_1b_1m,$ $ b_1m(a_1-b_1))$ debe ser un divisor de a $a_1b_1m(a_1-b_1)$.

Por lo $a_1b_1m - b_1m(a_1-b_1) = b_1^2m | a_1b_1m(a_1-b_1)$

O $b_1|a_1(a_1-b_1)$, lo que significa $b_1=1$

Mira el segundo y el tercero números

$a_1m(a_1-b_1) \leq a_1b_1m \implies a_1-1 \leq 1$ , lo que significa $a_1=2$.

Así que tenemos dos más pequeños números de $k$ $2k$ en nuestra serie.

Si no existe ningún tipo de $c>2k$ en el conjunto, entonces

$${ck\over c-k}\geq2k \implies c \geq 2c-2k \implies 2k \geq c$$

O

$${ck\over c-k} = k \implies c =c-k \implies k=0$$

Ambos de los cuales son imposibles.