Relación entre la distribución de Poisson y la distribución exponencial

Question

Los tiempos de espera para la distribución de Poisson es una distribución exponencial con parámetro lambda. Pero no lo entiendo. Poisson modela el número de llegadas por unidad de tiempo, por ejemplo. ¿Cómo está relacionada esto con la distribución exponencial? Supongamos que la probabilidad de k llegadas en una unidad de tiempo es P(k) (modelada por Poisson) y la probabilidad de k+1 es P(k+1), ¿cómo modela la distribución exponencial el tiempo de espera entre ellos?

Answer 1

Usaré la siguiente notación para ser lo más consistente posible con la wiki (en caso de que quieras ir de ida y vuelta entre mi respuesta y las definiciones de la wiki para la distribución de Poisson y la distribución exponencial.)

$N_t$: número de llegadas durante el período de tiempo $t$

$X_t$: tiempo que tarda en llegar una llegada adicional asumiendo que alguien llegó en el tiempo $t$

Por definición, las siguientes condiciones son equivalentes:

$ (X_t > x) \equiv (N_t = N_{t+x})$

El evento de la izquierda captura el evento de que nadie ha llegado en el intervalo de tiempo $[t,t+x]$ lo cual implica que nuestro recuento del número de llegadas en el tiempo $t+x$ es idéntico al recuento en el tiempo $t$ que es el evento de la derecha.

Por la regla del complemento, también tenemos:

$P(X_t \le x) = 1 - P(X_t > x)$

Usando la equivalencia de los dos eventos que describimos anteriormente, podemos reescribir lo anterior como:

$P(X_t \le x) = 1 - P(N_{t+x} - N_t = 0)$

Pero,

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = P(N_x = 0)$

Usando la fmp de Poisson lo anterior donde $\lambda$ es el número promedio de llegadas por unidad de tiempo y $x$ una cantidad de unidades de tiempo, se simplifica a:

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = \frac{(\lambda x)^0}{0!}e^{-\lambda x}$

es decir,

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = e^{-\lambda x}$

Sustituyendo en nuestra ecuación original, tenemos:

$P(X_t \le x) = 1 - e^{-\lambda x}$

Lo anterior es la función de distribución acumulativa de una función de densidad de probabilidad exponencial.

Answer 2

Para un proceso de Poisson, los aciertos ocurren al azar e independientemente del pasado, pero con una tasa media a largo plazo conocida $\lambda$ de aciertos por unidad de tiempo. La distribución de Poisson nos permitiría encontrar la probabilidad de obtener un número particular de aciertos.

Ahora, en lugar de mirar el número de aciertos, observamos la variable aleatoria $L$ (para Vida Útil), el tiempo que tienes que esperar para el primer acierto.

La probabilidad de que el tiempo de espera sea mayor que un valor de tiempo dado es $P(L \gt t) = P(\text{ningún acierto en el tiempo t})=\frac{\Lambda^0e^{-\Lambda}}{0!}=e^{-\lambda t}$ (por la distribución de Poisson, donde $\Lambda = \lambda t$).

$P(L \le t) = 1 - e^{-\lambda t}$ (la función de distribución acumulada). Podemos obtener la función de densidad tomando la derivada de esto:

$$f(t) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda t} & \mbox{para } t \ge 0 \\ 0 & \mbox{para } t \lt 0 \end{cases}$$

Cualquier variable aleatoria que tenga una función de densidad como esta se dice que está distribuida de manera exponencial.

Answer 3

Las otras respuestas hacen un buen trabajo explicando las matemáticas. Creo que ayuda considerar un ejemplo físico. Cuando pienso en un proceso de Poisson, siempre vuelvo a la idea de autos pasando en una carretera. Lambda es el número promedio de autos que pasan por unidad de tiempo, digamos 60/hora (lambda = 60). Sin embargo, sabemos que el número real variará: algunos días más, otros días menos. La Distribución de Poisson nos permite modelar esta variabilidad.

Ahora, un promedio de 60 autos por hora equivale a un promedio de 1 auto pasando cada minuto. Aunque sabemos que habrá variabilidad en la cantidad de tiempo entre llegadas: A veces más de 1 minuto; otras veces menos. La Distribución Exponencial nos permite modelar esta variabilidad.

Dicho esto, los autos pasando en una carretera no siempre seguirán un Proceso de Poisson. Si hay un semáforo a la vuelta de la esquina, por ejemplo, las llegadas se agruparán en lugar de ser constantes. En una autopista abierta, un tractor con remolque lento puede detener una larga fila de autos, causando nuevamente agrupamiento. En estos casos, la Distribución de Poisson aún puede funcionar bien para períodos de tiempo más largos, pero la exponencial fallará gravemente en modelar tiempos de llegada.

También hay una gran variabilidad basada en la hora del día: más ocupado durante las horas pico; mucho más lento a las 3 am. Asegúrate de que tu lambda refleje el periodo de tiempo específico que estás considerando.

Answer 4

La Distribución de Poisson suele derivarse de la Distribución Binomial (ambas discretas). Esto lo encontrarás en Wiki.

Sin embargo, la distribución de Poisson (discreta) también se puede derivar de la Distribución Exponencial (continua).

He añadido la prueba en Wiki (enlace abajo):

https://es.wikipedia.org/wiki/Talk:Poisson_distribution/Archive_1#Derivation_of_the_Poisson_Distribution_from_the_Exponential_Distribution

Answer 5

Mientras que las otras respuestas aquí entran en más detalles explicativos, voy a darte un resumen simple de la ecuación que relaciona un conjunto de variables aleatorias exponenciales IID y una variable aleatoria de Poisson generada. Una variable aleatoria de Poisson con parámetro $\lambda > 0$ puede ser generada contando el número de eventos secuenciales que ocurren en el tiempo $\lambda/\eta$ donde los tiempos entre los eventos son variables aleatorias exponenciales independientes con tasa $\eta$. (Estableciendo $\eta=1$ te da una forma simple de generar una variable aleatoria de Poisson a partir de una serie de variables aleatorias exponenciales unitarias IID).

Esto significa que si $E_1,E_2,E_3,... \sim \text{Exp}(\eta)$ con parámetro de tasa $\eta>0$, y $K \sim \text{Pois}(\lambda)$ con parámetro de tasa $\lambda>0$ entonces tienes:

$$\mathbb{P}(K \geqslant k) = \mathbb{P} \Big( E_1+\cdots+E_k \leqslant \frac{\lambda}{\eta} \Big).$$