Sea $a$,$b$,$c$ y$d$ números reales positivos. Probar que
Fuente :
Desigualdades, teoremas, técnicas y problemas seleccionados, por Zdravko Cvetkovski
Por favor sugiera cómo probar esta desigualdad usando el método básico, sin logaritmo.
Respuestas
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Supongamos que$a\geq b\geq c\geq d.$ Entonces,$f(a) = a^4+b^4+c^4+d^4+2abcd - a^2b^2-a^2c^2-a^2d^2-b^2c^2-b^2d^2-c^2d^2.$ Y$f'(a) = 4a^3 -2a(b^2+c^2+d^2)+2bcd$ Por lo tanto,$f''(a) = 12a^2 - 2b^2-2c^2-2d^2\geq 0.$ está aumentando y$f'$ por lo tanto:
(c ^ 2 d ^ 2-cd) c ^ 4 d ^ 4-c ^ 2d ^ 2 = (b ^ 2 - c ^ 2-d ^ 2 cd) ^ 2 2cd (cd) ^ 2 \ geq 0. $$
Michael Rozenberg
Puntos
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Dejar $a\geq b\geq c\geq d$.
Por lo tanto, es suficiente para demostrar que$$d(d-a)(d-b)(d+2c)+d(d-a)(d+2b)(d-c)+d(d+2a)(d-b)(d-c)\geq0$ $ o$$d^4-(ab+ac+bc)d^2+2abcd\geq0.$ $ o$$a^4+b^4+c^4\geq(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)d^2+a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2$ $ que es obvio.
Aquí$$\sum_{cyc}(a^2-b^2)^2\geq\sum_{cyc}(a-b)^2d^2$ significa$$\sum_{cyc}(a-b)^2((a+b)^2-d^2)\geq0,$.
También, podemos utilizar el BW.
Deja$\sum\limits_{cyc}$,$\sum\limits_{a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow a}$,$a=\min\{a,b,c,d\}$ y$b=a+u$.
Por lo tanto,$c=a+v$,$d=a+w$ y$u$ son no negativos y$b$ $$w$ $
También hay pruebas por EV Method y por SOS.
