De los valores cuadrados de un cierto polinomio

Question

Considere el siguiente polinomio en dos variables: $$P(a,b)=a^4-4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4.$$ Do positive integers $x$ and $s$ exist such that $P(x,y)$ es un cuadrado perfecto?

Soy consciente de que esto puede ser realmente un problema muy difícil de disimular, ya que estoy tratando de demostrar algo que no soy consciente de que ha sido puesta a prueba mediante el uso de este como un lema, y ya que esta es la teoría de los números, después de todo. Sin embargo, el sorprendente parecido de este polinomio a $(a\pm b)^4$ y el hecho de que su homogénea me hacen creer que hay un no-muy-duro camino para demostrar/refutar esta hipótesis. He tratado de limitar la expresión entre dos cuadrados consecutivos, he tratado de módulo y que incluso trató de reunir a algunos de la evidencia: No hay soluciones con $$10000>a>b$$ existir. Hay algo que me falta? Puede más la maquinaria pesada que se utiliza?

Answer 1

Trate de usar $$a^4-4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4=(a^2-2ab-b^2)^2+4a^2b^2.$ $ ahora, podemos suponer $(a,b)=1$ y $m$ y $n$ con diferente paridad tal que $(m,n)=1$

que $a^2-2ab-b^2=m^2-n^2$ y $ab=mn$.

Answer 2

La respuesta es NO, las soluciones del número entero sólo implican $a=0$ o $b=0$.

El quartic es birationally equivalente a-la curva elíptica \begin{equation} v^2=u^3+3u^2+u \end{equation} con\begin{equation} \frac{a}{b}=\frac{u+v}{u+1} \end{equation}

Usando funciones de curva elíptica incorporado de Pari-GP y ellrank software de Denis Simon, es sencillo demostrar que los puntos sólo racionales en la curva de $(0,0)$ y $(-1, \pm 1)$. Estos sólo conducen a $a=0$ o $b=0$.