¿Existe el límite? (Cálculo de AP)

Question

A continuación es una pregunta de un examen AP Cálculo. La clave de respuestas dicen opción C es la respuesta correcta, lo que implica que $$\lim_{x\to1} (f(x)g(x+1))$$ no existe. A mí me parece que todas las opciones son verdaderas, y que no hay respuesta correcta.

Pregunta 1) Si $\lim_{x\to1} (f(x)g(x+1))$ no existe, entonces ¿cuál es su valor?

Pregunta 2), Ya que no existe, eso no implica que $\lim_{x\to1} g(x+1)$ también existen?

Pregunta 3) ¿no es cierto que: $$\lim_{x\to1} g(x+1) = \lim_{x\to2} g(x) $$ y está establecido que $\lim_{x\to2} g(x) $ no existe en la opción (b)?

Este es mi razonamiento: $$\lim_{x\to1} (f(x)g(x+1))$$ $$[\lim_{x\to1}f(x)] \times [\lim_{x\to1} g(x+1)]$$ $$[\lim_{x\to1}f(x)] \times [\lim_{x\to2} g(x) ]$$ $$[0] \times [DNE]$$ $$DNE$$

Así que hay algo que no entiendo acerca de los límites, o la pregunta es incorrecta. Quiero decir que la pregunta está mal, pero no estoy 100% seguro.

Por Favor, Ayudar.

Answer 1

Tenga en cuenta que $|g(x)| \leq 1$

$$0 \leq |f(x)g(x+1) | \leq |f(x)|$$

Ahora podemos aplicar el teorema del apretón y demostrar

$$0 \leq \lim_{x \to 1} |f(x)g(x+1)| \leq \lim_{x \to 1} |f(x)| = 0 $$

No requerimos $\lim_{x \to 1} g(x+1) $ que existe.

Un ejemplo extremo sería $h(x) =0$ y $g(x)$ es una función acotada. Independientemente de lo que es $g(x)$ exactamente, siempre tenemos $h(x) g(x) = 0$.

Answer 2

La propiedad que $$ \lim_{x \to 1} f(x) g(x+1) = \lim f(x) \lim g(x+1) $ $ genéricamente es sólo cierto si ambos límites en el derecho existen. No siempre es cierto.

En este caso, es claro que $g(x+1)$ $1$ de la izquierda y $-1$ de la derecha. Así $f(x)g(x+1) = f(x)$ $x < 1$ y $f(x)g(x+1) = -f(x)$ $x > 1$. Como $x \to 1$(de ambos lados), $f(x) \to 0$ y $-f(x) \to 0$, por lo que el límite existe y es igual a $0$.

Answer 3

Basado en los gráficos, podemos ver para $$\lim_{x\to 1^+} f(x)g(x+1)$$$$=\lim_{x\to 1 ^ +} f (x) \lim_ {x\to 1 ^ +} g(x+1) $$$$=0\times-1=0$ $ $$$$$$$$$$\lim_{x\to 1^-} f(x)g(x+1)$$$$=\lim_{x\to 1 ^-} f (x) \lim_ {x\to 1 ^-} g(x+1) $$$% $ $=0\times 1=0$por lo que el límite existe.

Answer 4

$\lim |f(x)g(x + 1)| = \lim |f(x)||g(x + 1)| = \lim|f(x)| = 0$, $|g(x + 1)| = 1$ en un barrio de $2$. Entonces, desde el límite del valor absoluto es 0, el límite original debe ser $0$.

Answer 5

Las otras respuestas son correctas, pero creo que mirando la gráfica de $f(x)·g(x+1)$ ayuda a entender por qué el límite existe y es igual a cero.

Por supuesto, esta es una elección particular de f(x), pero en realidad cualquier función con $\lim_{x\to 1}{f(x)}=0$ podría trabajar (como las otras respuestas han demostrado).

Aquí $f(x)$ está en verde, $g(x)$ en azul y $f(x)·g(x+1)$ en rojo. Cuando nos acercamos a la 1, multiplicando $f(x)$ $g(x)$ sólo cambia el signo de $f(x)$, pero se mantiene aproxima a 0 por ambos lados.