Preguntándose por qué prueba por contradicción obras

Question

Este es un lugar suave pregunta y no estoy seguro de si mi fórmula es lo suficientemente precisa.

Considere la siguiente proposición:

La proposición: la proposición es falsa.

A continuación, la asunción de que la proposición es falsa conduce a una contradicción, como lo hace suponiendo que es cierto. Así que la proposición no puede ser verdadera ni falsa.

Pregunta: Cuando se demuestra que una declaración por la contradicción, podemos suponer que la negación de la declaración, encontrar una contradicción, y a la conclusión de que la declaración debe ser cierto. ¿Por qué es la última conclusión válida? ¿Cómo sabemos que la instrucción que se está examinando no sufren el mismo problema que el de la proposición anterior?

Gracias!

Answer 1

Este es un sorprendentemente difícil pregunta! La respuesta corta es que la prueba por contradicción sólo es válido cuando las proposiciones involucradas son "bien formado" en un cierto sentido preciso - el enfoque usual es definir un lenguaje formal y, a continuación, requieren de proposiciones se expresan en ese idioma. Ahora, el truco es que (por el teorema de Tarski) usted no puede configurar un lenguaje formal en el que una proposición puede hacer afirmaciones acerca de su propia verdad. Imagina que explica la frase "Este enunciado es falso" a alguien que no acaba de conseguirlo:

USTED: "Esta afirmación es falsa."

ELLOS: "Espera, que la declaración?"

USTED: "Que uno".

ELLOS: "¿cuál?"

QUE: "La declaración" Este enunciado es falso'."

ELLOS: "Oh, ok. Pero que la instrucción es que uno hablando?"

Y así sucesivamente. Ese es básicamente el problema - un sistema formal obliga a explicar lo que estás diciendo de forma tan precisa que las declaraciones como esta simplemente no son posibles.

Ahora, en la práctica, es un dolor para poner todo en un lenguaje formal. En general, lo que hacemos es suponer - hasta que se demuestre lo contrario - de que todo lo que no es, obviamente, la auto-referencial podría ser escrito en lenguaje formal, si queríamos. Cual es la razón por la que las pruebas por la contradicción de sentencias en la llanura inglés.

Hay una natural siguiente pregunta, sin embargo, que probablemente esté pensando: "si estamos autorizados para limitar el "alcance" de la prueba por contradicción diciendo: "oh, bueno, en realidad sólo se aplica a este tipo de frase", entonces ¿cómo sabemos que no tenemos que limitar aún más? La respuesta es que no. La mayoría de los matemáticos lo tome como una suposición (un axioma, más o menos, se llama la Ley del Medio Excluido). Sin embargo, hay una rama de la lógica - intuitionistic lógica - que rechaza esta suposición, básicamente diciendo: "a Veces, las frases puede ser ni verdadera ni falsa." Esto es perfectamente funcional manera de hacer matemáticas, aunque suele ser mucho más difícil; como tratar a andar en bicicleta con una mano atada a la espalda.

Answer 2

En (la mayoría de) las matemáticas, "no es cierto" significa la misma cosa como "falso" y "no falso" significa la misma cosa como "verdadero". Así que si una afirmación no es falsa, la única opción es que es verdad. No hay nada más que eso.

Pero, de protesta, ¿qué está pasando con "Esta oración es falsa"? No puede ser verdadero o falso! La respuesta es que esta frase simplemente completamente rompe las matemáticas. Es decir, si usted permite que una frase como "Esta oración es falsa" para ser parte de las matemáticas, a continuación, llegar a una contradicción (se puede demostrar que debe ser cierto, pero también que debe ser falso). Puesto que usted puede probar cualquier cosa de una contradicción, esto destruye toda la matemática.

Por lo tanto, si queremos que las matemáticas no se rompa, la solución debe ser simplemente una frase como "Esta oración es falsa" no es una parte de las matemáticas. Después de todo, hay un montón de otras declaraciones que no son parte de las matemáticas, tales como "La reina de Inglaterra es un hámster", o "el Azul es un color mejor que el naranja".

Esto plantea la cuestión de qué declaraciones son parte de las matemáticas. Responder a esta pregunta es una larga historia, pero la respuesta breve es que estamos restringidos a las declaraciones que podemos expresar en cierto completamente precisa del lenguaje formal. Este lenguaje formal nos permite referirse a todos nuestro habitual de los conceptos matemáticos y relaciones lógicas entre ellos. Si queremos interpretar un inglés informal declaración como una verdadera afirmación matemática, tenemos que encontrar una manera de traducirlo en este lenguaje formal. Resulta que no hay ninguna manera obvia para traducir una declaración como "Esta oración es falsa" en nuestro lenguaje formal (y esperamos que no hay una manera no evidente, ya que si no existiera, entonces la matemática iba a romper!).

Answer 3

Sugerencia: buscar en Teorema de Tarski sobre la undefinability de la verdad.

Answer 4

Con respecto a la ¿por Qué es la última conclusión válida? pregunta.

No es una operación lógica que se llama material de implicación, que también dice: "desde Un deducimos que B". De acuerdo a la tabla de verdad de esta operación, la única manera de $A \rightarrow B$ es falso es al $A$ es verdadero y $B$ es falso, es decir, de una verdadera declaración de nunca podemos deducir una falsa declaración.

Esta propiedad es aprovechada por los medios de prueba por contradicción. I. e.

• queremos mostrar a $A \rightarrow B$ es verdadero
• pero suponemos que $A \rightarrow \neg B$ es verdadero
• a través de diversas manipulaciones podemos deducir que $A \rightarrow \neg B$ es falso, pero a partir de la tabla de verdad esto sólo es posible cuando se $\neg B$ es falso
• por lo $B$ es verdadero

O de otra forma, queremos mostrar a $A$ es verdadera, entonces asumimos $\neg A$ es verdad y llegar a la conclusión de que $\neg A \rightarrow \text{false}$ es cierto (otra manera de decir que llegamos a una contradicción). Pero a partir de la tabla de verdad, esto sólo es posible cuando se $\neg A$ es falso, por lo $A$ es verdadero. Más detalles aquí.

En cuanto a ¿Cómo sabemos que la instrucción que se está examinando no sufren el mismo problema que el de la proposición anterior? Con la prueba por contradicción, el elemento esencial es golpear la contradicción. Con Esta proposición es falsa no técnicamente golpear una contradicción, es indecidible.